解説

方針・初手

まず，$f(x)$ の極大・極小の位置から $f$ の増減を確定する。

つぎに，$f(0)=f(1)=\dfrac13$，$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ を合わせて，$y=f(x)$ の概形を決める。

そのうえで $F'(x)=f(x)$，$F''(x)=f'(x)$ を用いれば，$y=F(x)$ の増減と凹凸は $f$ の符号と増減からそのまま読める。

解法1

**(1)**

$y=f(x)$ の概形

$f(x)$ は

• $x=\dfrac14$ で極大値 $\dfrac23$
• $x=\dfrac12$ で極小値 $-\dfrac16$
• $x=\dfrac34$ で極大値 $1$

をとり，その他では極値をとらない。

したがって，$f'(x)$ の符号は各極値の前後で

$$ \begin{aligned} &(-\infty,\tfrac14)\text{ で正},\\ &(\tfrac14,\tfrac12)\text{ で負},\\ &(\tfrac12,\tfrac34)\text{ で正},\\ &(\tfrac34,\infty)\text{ で負} \end{aligned} $$

となる。よって $f$ は

$$ \begin{aligned} &(-\infty,\tfrac14)\text{ で増加},\\ &(\tfrac14,\tfrac12)\text{ で減少},\\ &(\tfrac12,\tfrac34)\text{ で増加},\\ &(\tfrac34,\infty)\text{ で減少} \end{aligned} $$

する。

さらに，

$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)=0 $$

より，左右の端では $x$ 軸に近づく。また

$$ f(0)=f(1)=\frac13 $$

である。

ここで

$$ f!\left(\frac14\right)=\frac23>0,\qquad f!\left(\frac12\right)=-\frac16<0 $$

であり，$\left(\dfrac14,\dfrac12\right)$ では単調減少であるから，この区間にただ 1 つの解 $\alpha$ が存在して

$$ \frac14<\alpha<\frac12,\qquad f(\alpha)=0 $$

となる。

同様に，

$$ f!\left(\frac12\right)=-\frac16<0,\qquad f!\left(\frac34\right)=1>0 $$

かつ $\left(\dfrac12,\dfrac34\right)$ では単調増加であるから，この区間にただ 1 つの解 $\beta$ が存在して

$$ \frac12<\beta<\frac34,\qquad f(\beta)=0 $$

となる。

以上より，$y=f(x)$ の概形は次のようになる。

• 左右の無限遠で $x$ 軸 $y=0$ に近づく。
• $(-\infty,\tfrac14)$ で増加し，$\left(\tfrac14,\dfrac23\right)$ で極大。
• その後減少して，$\left(\alpha,0\right)$ で $x$ 軸を横切る。
• $\left(\tfrac12,-\dfrac16\right)$ で極小。
• さらに増加して，$\left(\beta,0\right)$ で再び $x$ 軸を横切る。
• $\left(\tfrac34,1\right)$ で極大。
• その後減少し，$\left(1,\dfrac13\right)$ を通って $0$ に近づく。
• また，$\left(0,\dfrac13\right)$ も通る。

したがって，$-1<x<3$ におけるグラフは，上記の点と増減を満たす滑らかな曲線として描けばよい。

**(2)**

$y=F(x)$ の概形

$$ F(x)=\int_0^x f(t),dt $$

より

$$ F'(x)=f(x),\qquad F''(x)=f'(x) $$

である。

まず $F(0)=0$ である。

上で定めた $\alpha,\beta$ を用いると，$f(x)$ の符号から

$$ \begin{aligned} &0\le x<\alpha \text{ では }F'(x)=f(x)>0,\\ &\alpha<x<\beta \text{ では }F'(x)=f(x)<0,\\ &\beta<x\le 1 \text{ では }F'(x)=f(x)>0 \end{aligned} $$

となる。したがって $F$ は

• $[0,\alpha]$ で増加
• $[\alpha,\beta]$ で減少
• $[\beta,1]$ で増加

する。よって

• $x=\alpha$ で極大
• $x=\beta$ で極小

をとる。

つぎに，$F''(x)=f'(x)$ であるから，$f$ の増減より

$$ \begin{aligned} &(0,\tfrac14)\text{ で }F''(x)>0,\\ &(\tfrac14,\tfrac12)\text{ で }F''(x)<0,\\ &(\tfrac12,\tfrac34)\text{ で }F''(x)>0,\\ &(\tfrac34,1)\text{ で }F''(x)<0 \end{aligned} $$

である。したがって $F$ の凹凸は

• $\left(0,\dfrac14\right)$ で下に凸
• $\left(\dfrac14,\dfrac12\right)$ で上に凸
• $\left(\dfrac12,\dfrac34\right)$ で下に凸
• $\left(\dfrac34,1\right)$ で上に凸

となる。

よって，$0\le x\le 1$ における $y=F(x)$ の概形は，

• $(0,0)$ から出発し，
• 最初は増加しながら下に凸，
• $x=\dfrac14$ で変曲してなお増加し，
• $x=\alpha$ で極大，
• その後減少して $x=\dfrac12$ で再び変曲，
• $x=\beta$ で極小，
• さらに増加し，
• $x=\dfrac34$ で変曲して，
• $x=1$ まで増加する

という形になる。

なお，$F(\beta)$ や $F(1)$ の値まではこの条件だけでは決まらないので，$x$ 軸との交点が $(0,0)$ 以外にあるかどうかは確定しない。

**(3)**

$F''!\left(\dfrac14\right)$ の値

$$ F''(x)=f'(x) $$

である。

しかも $x=\dfrac14$ は $f(x)$ の極大点であり，$f$ は微分可能であるから

$$ f'!\left(\frac14\right)=0 $$

である。したがって

$$ F''!\left(\frac14\right)=f'!\left(\frac14\right)=0 $$

となる。

解説

この問題の要点は，$F$ を直接調べようとせず，

$$ F'(x)=f(x),\qquad F''(x)=f'(x) $$

と見て，$f$ の情報をそのまま $F$ の増減・凹凸に読み替えることである。

また，$f$ のグラフでは極値の位置だけでなく，$\pm\infty$ で $0$ に近づくこと，および $f(0),f(1)$ の値が与えられているので，概形はかなり強く制限される。

一方で，$F(x)$ については積分値そのものは与えられていないので，極大・極小の高さや $F(1)$ の値までは決まらない。この点を勝手に決めてしまわないことが重要である。

答え

**(1)**

$f$ は

$$ (-\infty,\tfrac14)\text{ で増加},\quad (\tfrac14,\tfrac12)\text{ で減少},\quad (\tfrac12,\tfrac34)\text{ で増加},\quad (\tfrac34,\infty)\text{ で減少} $$

し，

$$ \left(\tfrac14,\tfrac23\right),\ \left(\tfrac12,-\tfrac16\right),\ \left(\tfrac34,1\right) $$

でそれぞれ極大・極小・極大をとる。さらに

$$ f(0)=f(1)=\frac13,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)=0 $$

であり，$x$ 軸とは

$$ \alpha\in\left(\tfrac14,\tfrac12\right),\qquad \beta\in\left(\tfrac12,\tfrac34\right) $$

の 2 点で交わる。この条件を満たす滑らかな曲線が概形である。

**(2)**

$F(0)=0$，$F'(x)=f(x)$，$F''(x)=f'(x)$ であるから，

$x=\alpha$ で極大

$x=\beta$ で極小

$x=\dfrac14,\dfrac12,\dfrac34$ で変曲

をもつ。また

$$ (0,\tfrac14),\ (\tfrac12,\tfrac34)\text{ で下に凸},\qquad (\tfrac14,\tfrac12),\ (\tfrac34,1)\text{ で上に凸} $$

である。したがって，$(0,0)$ から出発し，増加・減少・増加の順に変化する曲線が概形である。

**(3)**

$$ F''!\left(\frac14\right)=0 $$