解説

方針・初手

極値は導関数 $f'(x)$ が $0$ となる点で生じるので，まず微分して増減を調べる。

関数 $f(x)=2e^{\pi x}\sin(\pi x)$ は指数関数と三角関数の積であるから，積の微分法を用いる。

解法1

$f(x)=2e^{\pi x}\sin(\pi x)$ を微分すると，

$$ f'(x)=2\left(\pi e^{\pi x}\sin(\pi x)+e^{\pi x}\pi\cos(\pi x)\right) =2\pi e^{\pi x}\bigl(\sin(\pi x)+\cos(\pi x)\bigr) $$

となる。

ここで $2\pi e^{\pi x}>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は $\sin(\pi x)+\cos(\pi x)$ の符号で決まる。

したがって，極値を与える点は

$$ \sin(\pi x)+\cos(\pi x)=0 $$

を満たす $x$ である。

これは

$$ \sin(\pi x)=-\cos(\pi x) $$

より，

$$ \tan(\pi x)=-1 $$

となるから，

$$ \pi x=-\frac{\pi}{4}+n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

すなわち

$$ x=-\frac14+n \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

である。

このうち，区間 $-1<x<1$ に入るのは

$$ x=-\frac14,\ \frac34 $$

の $2$ 点である。

次に増減を調べる。

**(i)**

$-1<x<-\dfrac14$ のとき

例えば $x=-\dfrac12$ を代入すると，

$$ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1<0 $$

より $f'(x)<0$ である。

**(ii)**

$-\dfrac14<x<\dfrac34$ のとき

例えば $x=0$ を代入すると，

$$ \sin 0+\cos 0=1>0 $$

より $f'(x)>0$ である。

**(iii)**

$\dfrac34<x<1$ のとき

例えば $x=\dfrac{9}{10}$ を代入すると， $\sin(\pi x)+\cos(\pi x)<0$ となるので $f'(x)<0$ である。

よって増減は

• $-1<x<-\dfrac14$ で減少
• $-\dfrac14<x<\dfrac34$ で増加
• $\dfrac34<x<1$ で減少

となる。

したがって，

• $x=-\dfrac14$ で極小
• $x=\dfrac34$ で極大

である。

それぞれの値は，

$$ f\left(-\frac14\right) =2e^{-\pi/4}\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) =2e^{-\pi/4}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) =-\sqrt2,e^{-\pi/4} $$

$$ f\left(\frac34\right) =2e^{3\pi/4}\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) =2e^{3\pi/4}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\sqrt2,e^{3\pi/4} $$

である。

解説

$e^{\pi x}$ は常に正であるから，$f'(x)$ の符号判定では $\sin(\pi x)+\cos(\pi x)$ だけを見ればよいのがポイントである。

極値問題では，導関数を $0$ にする点を求めたあと，必ず増減表または符号変化で極大・極小を確定する必要がある。

答え

極小値は

$$ -\sqrt2,e^{-\pi/4} $$

で，そのとき

$$ x=-\frac14 $$

である。

極大値は

$$ \sqrt2,e^{3\pi/4} $$

で，そのとき

$$ x=\frac34 $$

である。