基礎問題集
数学3 微分法「グラフ・増減・極値」の問題19 解説
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解説
方針・初手
変曲点は、$y''$ の符号が変化する点である。したがって、まず $y''$ を求め、その符号を調べればよい。
解法1
与えられた関数は
$$ y=x^8+3x^2+5 $$
である。
まず $1$ 回微分すると
$$ y'=8x^7+6x $$
さらに $2$ 回微分して
$$ y''=56x^6+6 $$
を得る。
ここで、$x^6\geqq 0$ であるから
$$ 56x^6+6\geqq 6>0 $$
となり、$y''$ はすべての実数 $x$ に対して常に正である。
したがって、グラフの凹凸は途中で変化せず、変曲点は存在しない。
解説
変曲点を調べるときは、$y''=0$ を解くだけでは不十分であり、実際に $y''$ の符号が変化するかを見る必要がある。
この問題では $y''=56x^6+6$ が常に正であるため、そもそも凹凸の変化が起こらない。よって変曲点はない。
答え
変曲点は存在しない。したがって、変曲点の $y$ 座標は存在しない。