解説

方針・初手

極値をもつ点が $x=-2,\ 1$ と与えられているので、まず微分して $f'(x)=0$ となる条件を求める。

そのうえで、極小値・極大値も与えられているから

$$ f(-2)=\frac12,\qquad f(1)=2 $$

を連立して $a,b,c$ を決める。

解法1

関数

$$ f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2+2} $$

を微分する。

分子を $ax^2+bx+c$、分母を $x^2+2$ として商の微分法を用いると、

$$ f'(x)=\frac{(2ax+b)(x^2+2)-(ax^2+bx+c)\cdot 2x}{(x^2+2)^2} $$

である。分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} (2ax+b)(x^2+2)-(ax^2+bx+c)\cdot 2x &=2ax^3+4ax+bx^2+2b-2ax^3-2bx^2-2cx \\ &=-bx^2+(4a-2c)x+2b \end{aligned} $$

したがって、

$$ f'(x)=\frac{-bx^2+(4a-2c)x+2b}{(x^2+2)^2} $$

となる。

$x=-2,\ 1$ で極値をもつから、

$$ f'(-2)=0,\qquad f'(1)=0 $$

である。分母は常に正なので、分子について考えればよい。

まず $x=1$ を代入すると、

$$ -b+(4a-2c)+2b=0 $$

より

$$ 4a+b-2c=0 $$

すなわち

$$ 2c=4a+b \qquad \cdots\text{①} $$

を得る。

次に、極小値・極大値の条件より

$$ f(-2)=\frac12,\qquad f(1)=2 $$

である。

$ f(-2)=\frac12 $ より、

$$ \frac{4a-2b+c}{(-2)^2+2}=\frac12 $$

すなわち

$$ \frac{4a-2b+c}{6}=\frac12 $$

だから、

$$ 4a-2b+c=3 \qquad \cdots\text{②} $$

また、$ f(1)=2 $ より、

$$ \frac{a+b+c}{1^2+2}=2 $$

すなわち

$$ \frac{a+b+c}{3}=2 $$

だから、

$$ a+b+c=6 \qquad \cdots\text{③} $$

①より

$$ c=2a+\frac b2 $$

である。これを②に代入すると、

$$ 4a-2b+2a+\frac b2=3 $$

よって

$$ 6a-\frac32 b=3 $$

両辺を $2$ 倍して

$$ 12a-3b=6 $$

すなわち

$$ 4a-b=2 $$

したがって

$$ b=4a-2 $$

さらに ① から

$$ c=2a+\frac{4a-2}{2}=2a+2a-1=4a-1 $$

これを③に代入すると、

$$ a+(4a-2)+(4a-1)=6 $$

ゆえに

$$ 9a-3=6 $$

となるので、

$$ 9a=9,\qquad a=1 $$

したがって

$$ b=4a-2=2,\qquad c=4a-1=3 $$

である。

最後に極小・極大の向きを確認する。

$a=1,\ b=2,\ c=3$ を代入すると、

$$ f'(x)=\frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2} =\frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2} $$

となる。分母は常に正であるから、符号は $-(x+2)(x-1)$ で決まる。

**(i)**

$x<-2$ のとき $f'(x)<0$

**(ii)**

$-2<x<1$ のとき $f'(x)>0$

**(iii)**

$x>1$ のとき $f'(x)<0$

よって $x=-2$ で極小、$x=1$ で極大となり、条件に一致する。

解説

この問題では、極値の位置と極値そのものの値が両方与えられている。したがって、

1. 微分して極値をとる条件 $f'(x)=0$ を作る 2. 関数値 $f(-2),\ f(1)$ を使う

という二段構えで連立方程式を作るのが基本方針である。

また、分母 $x^2+2$ は常に正であるため、増減や極値の判定では分子だけを見ればよい。この点に気づくと処理が簡潔になる。

答え

$$ a=1,\qquad b=2,\qquad c=3 $$