解説

方針・初手

まず $f(x)=x-a\log(x^2+1)$ がどの $x$ で定義されるかを確認する。

次に導関数を求め，その符号を調べる。極値の個数は $f'(x)=0$ の解の個数と，その点で符号が変わるかどうかで判定する。

解法1

（1） 定義域を求める。

対数関数が定義されるためには

$$ x^2+1>0 $$

であればよい。

ところが，任意の実数 $x$ に対して $x^2\geqq 0$ であるから，

$$ x^2+1\geqq 1>0 $$

となる。したがって，$f(x)$ はすべての実数 $x$ で定義される。

よって定義域は

$$ \mathbb{R} $$

である。

（2） 導関数を求める。

$$ f(x)=x-a\log(x^2+1) $$

より，

$$ f'(x)=1-a\cdot \frac{2x}{x^2+1} $$

したがって，

$$ f'(x)=1-\frac{2ax}{x^2+1} =\frac{x^2-2ax+1}{x^2+1} $$

である。

**(3)**

$f(x)$ がただ $1$ つの極値をもつときの $a$ の範囲を求める。

$ x^2+1>0 $ であるから，$f'(x)$ の符号は

$$ x^2-2ax+1 $$

の符号で決まる。

そこで

$$ g(x)=x^2-2ax+1 $$

とおくと，これは上に開く2次関数である。判別式は

$$ D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 1=4(a^2-1) $$

である。

**(i)**

$0<a<1$ のとき

$$ D<0 $$

となるので，$g(x)>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。したがって $f'(x)>0$ であり，$f(x)$ は単調増加だから極値をもたない。

**(ii)**

$a=1$ のとき

$$ g(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2 $$

となるので，

$$ f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\geqq 0 $$

であり，$x=1$ で $f'(x)=0$ となるが符号は変化しない。よってこのときも極値をもたない。

**(iii)**

$a>1$ のとき

$$ D>0 $$

となるので，$g(x)=0$ は異なる2実根をもつ。その根を

$$ x=a\pm \sqrt{a^2-1} $$

とすると，上に開く放物線であるから

• 根の外側で $g(x)>0$
• 2つの根の間で $g(x)<0$

となる。したがって $f'(x)$ は

• 小さい方の根で $+\to -$
• 大きい方の根で $-\to +$

と符号が変化する。

よってこのとき $f(x)$ は極大値と極小値を1つずつもち，極値は $2$ つである。

以上より，$f(x)$ がただ $1$ つの極値をもつような $a$ は存在しない。

解説

極値の個数は，導関数の分子

$$ x^2-2ax+1 $$

の実数解の個数と符号変化で決まる。

この分子は2次式なので，起こりうるのは

• 解なし
• 重解1つ
• 異なる2解

の3通りしかない。しかも重解のときは符号が変わらないため極値にならない。したがって，この問題では「極値がちょうど1つ」という状況は生じない。

答え

**(1)**

定義域は

$$ \mathbb{R} $$

である。

**(2)**

$$ f'(x)=1-\frac{2ax}{x^2+1} =\frac{x^2-2ax+1}{x^2+1} $$

である。

**(3)**

$f(x)$ がただ $1$ つの極値をもつような $a$ は存在しない。