解説

方針・初手

$f(x)$ は

$$ f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}=1-\frac{1}{e^x+1} $$

と変形すると，極限や漸近線が見やすくなる。また，微分すると増減や凹凸がただちに分かる。

逆関数は $y=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ を $x$ について解けばよい。(3) は，(2) で求めた逆関数を代入して対数の極限に直せばよい。

解法1

（1） 増減，凹凸，漸近線を調べる。

まず定義域はすべての実数である。

$f(x)$ を微分すると，

$$ f'(x)=\frac{e^x(e^x+1)-e^x\cdot e^x}{(e^x+1)^2} =\frac{e^x}{(e^x+1)^2} $$

となる。ここで $e^x>0$ であるから，

$$ f'(x)>0 \qquad (\forall x\in \mathbb{R}) $$

である。したがって，$f(x)$ は実数全体で単調増加である。よって極大値・極小値はもたない。

次に 2 階微分を求めると，

$$ f''(x)=\left(\frac{e^x}{(e^x+1)^2}\right)' =\frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3} $$

となる。分母は常に正であり，分子 $e^x(1-e^x)$ の符号を見ると，

• $x<0$ のとき $e^x<1$ より $f''(x)>0$
• $x=0$ のとき $f''(x)=0$
• $x>0$ のとき $e^x>1$ より $f''(x)<0$

である。

したがって，

• $x<0$ で下に凸
• $x>0$ で上に凸

となり，$x=0$ で変曲点をもつ。変曲点の座標は

$$ f(0)=\frac{1}{2} $$

より，

$$ \left(0,\frac{1}{2}\right) $$

である。

次に漸近線を調べる。

$x\to -\infty$ のとき $e^x\to 0$ だから，

$$ \lim_{x\to -\infty} f(x) =\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x}{e^x+1} =0 $$

である。よって水平漸近線 $y=0$ をもつ。

また $x\to \infty$ のとき，

$$ f(x)=1-\frac{1}{e^x+1} $$

より，

$$ \lim_{x\to \infty} f(x)=1 $$

である。よって水平漸近線 $y=1$ をもつ。

さらに，

$$ f(-x)=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=\frac{1}{e^x+1}=1-\frac{e^x}{e^x+1}=1-f(x) $$

であるから，グラフは点 $\left(0,\dfrac12\right)$ に関して点対称である。

以上より，グラフは $y=0$ と $y=1$ の間にあり，$\left(0,\dfrac12\right)$ を通って単調増加する S 字型の曲線である。

（2） 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

$$ y=\frac{e^x}{e^x+1} $$

とおくと，

$$ y(e^x+1)=e^x $$

すなわち

$$ ye^x+y=e^x $$

であるから，

$$ y=e^x(1-y) $$

となる。よって，

$$ e^x=\frac{y}{1-y} $$

であり，対数をとって

$$ x=\log\frac{y}{1-y} $$

を得る。したがって，

$$ f^{-1}(x)=\log\frac{x}{1-x} \qquad (0<x<1) $$

である。

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}n\left\{f^{-1}\left(\frac{1}{n+2}\right)-f^{-1}\left(\frac{1}{n+1}\right)\right\} $$

を求める。

（2） の結果を用いると，

$$ f^{-1}\left(\frac{1}{n+2}\right) =\log\frac{\frac{1}{n+2}}{1-\frac{1}{n+2}} =\log\frac{1}{n+1} =-\log(n+1) $$

また，

$$ f^{-1}\left(\frac{1}{n+1}\right) =\log\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}} =\log\frac{1}{n} =-\log n $$

である。したがって，

$$ n\left\{f^{-1}\left(\frac{1}{n+2}\right)-f^{-1}\left(\frac{1}{n+1}\right)\right\} =n{\log n-\log(n+1)} =n\log\frac{n}{n+1} $$

となる。ここで，

$$ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} $$

であるから，

$$ n\log\frac{n}{n+1} =n\log\left(1-\frac{1}{n+1}\right) $$

となる。$t\to 0$ のとき $\log(1+t)\sim t$ を用いれば，

$$ \log\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\sim -\frac{1}{n+1} $$

なので，

$$ n\log\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\sim -\frac{n}{n+1}\to -1 $$

である。よって極限値は

$$ -1 $$

である。

解説

この問題の要点は，$f(x)$ を指数関数のまま扱うことにある。無理に複雑な変形をせず，

$$ f(x)=\frac{e^x}{e^x+1} $$

をそのまま微分すれば，増減も凹凸も素直に決まる。

また，逆関数は $e^x$ を一つの文字のように見て整理すれば簡単に求まる。(3) では，逆関数を代入したあとに対数差が現れ，最終的に $\log(1+t)$ 型の極限に帰着する。この流れが見えれば処理は短い。

答え

**(1)**

$f'(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}>0$ より，$f(x)$ は $\mathbb{R}$ 全体で単調増加。

$f''(x)=\dfrac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}$ より，

$x<0$ で下に凸

$x>0$ で上に凸

変曲点は $\left(0,\dfrac12\right)$

水平漸近線は $y=0,\ y=1$

グラフは $\left(0,\dfrac12\right)$ を通る単調増加の S 字型曲線

**(2)**

$$ f^{-1}(x)=\log\frac{x}{1-x}\qquad (0<x<1) $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}n\left\{f^{-1}\left(\frac{1}{n+2}\right)-f^{-1}\left(\frac{1}{n+1}\right)\right\}=-1 $$