解説

方針・初手

極値をもたないためには、導関数 $f'(x)$ が符号を変えなければよい。

そこでまず $f'(x)$ を求め、$\sin x$ だけの式に直して、その取りうる値の範囲を調べる。

解法1

$$ f(x)=ax+\cos x+\frac12\sin 2x $$

より、

$$ f'(x)=a-\sin x+\cos 2x $$

である。ここで

$$ \cos 2x=1-2\sin^2 x $$

を用いると、

$$ f'(x)=a+1-\sin x-2\sin^2 x $$

となる。

ここで

$$ t=\sin x \qquad (-1\le t\le 1) $$

とおくと、

$$ f'(x)=a+{1-t-2t^2} $$

である。したがって

$$ \phi(t)=1-t-2t^2 \qquad (-1\le t\le 1) $$

の値域を調べればよい。

まず、

$$ \phi'(t)=-1-4t $$

より、$\phi'(t)=0$ となるのは

$$ t=-\frac14 $$

である。このとき

$$ \phi\left(-\frac14\right) =1+\frac14-2\cdot\frac1{16} =\frac98 $$

また、端点では

$$ \phi(-1)=1+1-2=0,\qquad \phi(1)=1-1-2=-2 $$

であるから、$\phi(t)$ の値域は

$$ -2\le \phi(t)\le \frac98 $$

となる。

よって $f'(x)$ の値域は

$$ a-2\le f'(x)\le a+\frac98 $$

である。

$f(x)$ が極値をもたないためには、$f'(x)$ が常に非負か、または常に非正であればよい。

（i） 常に $f'(x)\ge0$ である場合

$$ a-2\ge0 $$

すなわち

$$ a\ge2 $$

（ii） 常に $f'(x)\le0$ である場合

$$ a+\frac98\le0 $$

すなわち

$$ a\le-\frac98 $$

したがって

$$ a\ge2 \quad \text{または} \quad a\le-\frac98 $$

のとき、$f'(x)$ は符号を変えないので、$f(x)$ は極値をもたない。

逆に、

$$ -\frac98<a<2 $$

ならば

$$ a-2<0<a+\frac98 $$

となるので、$f'(x)$ は正の値も負の値もとる。$f'(x)$ は連続であるから、その途中で符号が変わり、したがって $f(x)$ は極大値または極小値をもつ。

よって、求める $a$ の範囲は

$$ a\le-\frac98 \quad \text{または} \quad a\ge2 $$

である。

解説

この問題の要点は、極値の有無を導関数の符号で判定することである。

$f'(x)$ をそのまま扱うよりも、$\cos 2x=1-2\sin^2 x$ を使って $\sin x$ の2次式に直すと、$\sin x\in[-1,1]$ を用いて値域を一気に求められる。境界値 $a=2,,-\dfrac98$ では $f'(x)=0$ となる点はあるが、符号は変わらないので極値は生じない点にも注意が必要である。

答え

$$ a\le-\frac98 \quad \text{または} \quad a\ge2 $$