基礎問題集

数学3 微分法「グラフ・増減・極値」の問題24 解説

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数学3微分法グラフ・増減・極値問題24

解説

極値を調べるには微分して増減をみればよい。分母をそのまま微分してもよいが、まず

$$ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab $$

と整理しておくと計算しやすい。

$$ g(x)=\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{x^2-(a+b)x+ab} $$

であるから、微分すると

$$ g'(x)=-\frac{2x-(a+b)}{\left(x^2-(a+b)x+ab\right)^2} $$

となる。

極値をとる点では通常 $g'(x)=0$ であるから、

$$ 2x-(a+b)=0 $$

より

$$ x=\frac{a+b}{2} $$

を得る。

実際、分母 $\left(x^2-(a+b)x+ab\right)^2$ は $x=a,b$ を除いて常に正であるから、$g'(x)$ の符号は $-(2x-(a+b))$ の符号で決まる。したがって

となり、$x=\dfrac{a+b}{2}$ で極大値をとる。

この問題では、極値をとる $x$ の値だけを求めればよいので、微分して $g'(x)=0$ を解けば十分である。

また、分母 $(x-a)(x-b)$ は $x=\dfrac{a+b}{2}$ を軸とする2次式であるから、その逆数である $g(x)$ の極値もその対称軸上で生じると考えてもよい。

$$ \frac{a+b}{2} $$