解説

方針・初手

まず定義域が $x>0$ であることに注意して微分する。

$$ f(x)=\frac{(\log x)^n}{x} $$

の導関数は

$$ f'(x)=\frac{(\log x)^{n-1}(n-\log x)}{x^2} $$

となるので，増減は $\log x$ と $n-\log x$ の符号で決まる。したがって，$x=1$ と $x=e^n$ が要点である。

また，$n=3$ のときはさらに 2 回微分して，$f''(x)$ の符号から凹凸を調べる。

解法1

**(1)**

定義域は $x>0$ である。

$f(x)$ を微分すると，

$$ f'(x) =\frac{n(\log x)^{n-1}\cdot \frac1x \cdot x-(\log x)^n}{x^2} =\frac{(\log x)^{n-1}(n-\log x)}{x^2} $$

となる。$x^2>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は

$$ (\log x)^{n-1}(n-\log x) $$

の符号で決まる。

**(i)**

$n$ が奇数のとき

このとき $n-1$ は偶数であるから，$(\log x)^{n-1}\geqq 0$ であり，$x=1$ でのみ $0$ になる。したがって $f'(x)$ の符号は $n-\log x$ の符号と一致する。

よって

• $0<x<e^n$ で $f'(x)>0$（ただし $x=1$ では $f'(1)=0$）
• $x>e^n$ で $f'(x)<0$

となる。したがって $f(x)$ は $0<x<e^n$ で増加し，$x>e^n$ で減少する。

また

$$ f(e^n)=\frac{n^n}{e^n}=\left(\frac{n}{e}\right)^n $$

であるから，$x=e^n$ で極大値 $\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ をとる。

なお，$x=1$ では $f'(1)=0$ であるが，その前後で増減は変わらないので極値ではない。

**(ii)**

$n$ が偶数のとき

このとき $n-1$ は奇数であるから，$(\log x)^{n-1}$ の符号は $\log x$ の符号と一致する。

したがって

• $0<x<1$ では $\log x<0,\ n-\log x>0$ より $f'(x)<0$
• $1<x<e^n$ では $\log x>0,\ n-\log x>0$ より $f'(x)>0$
• $x>e^n$ では $\log x>0,\ n-\log x<0$ より $f'(x)<0$

となる。ゆえに $f(x)$ は $0<x<1$ で減少し，$1<x<e^n$ で増加し，$x>e^n$ で減少する。

よって

$$ f(1)=0,\qquad f(e^n)=\left(\frac{n}{e}\right)^n $$

より，$x=1$ で極小値 $0$，$x=e^n$ で極大値 $\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ をとる。

**(2)**

$n=3$ のとき

このとき

$$ f(x)=\frac{(\log x)^3}{x} $$

である。

まず増減は （1） の奇数の場合より，

• $0<x<e^3$ で増加
• $x>e^3$ で減少

となる。したがって $x=e^3$ で極大値

$$ f(e^3)=\frac{27}{e^3} $$

をとる。

次に凹凸を調べるために 2 回微分する。

$$ f'(x)=\frac{(\log x)^2(3-\log x)}{x^2} $$

より，

$$ f''(x) =\frac{2(\log x)^3-9(\log x)^2+6\log x}{x^3} =\frac{\log x\left(2(\log x)^2-9\log x+6\right)}{x^3} $$

となる。

ここで

$$ 2(\log x)^2-9\log x+6=0 $$

の解は

$$ \log x=\frac{9\pm \sqrt{33}}{4} $$

である。そこで

$$ a=\frac{9-\sqrt{33}}{4},\qquad b=\frac{9+\sqrt{33}}{4} $$

とおくと，

$$ f''(x)=\frac{2\log x(\log x-a)(\log x-b)}{x^3} $$

と書ける。$x^3>0$ であるから，$f''(x)$ の符号は $\log x(\log x-a)(\log x-b)$ の符号で決まる。

$a,b>0$ であり，$a<b$ であることに注意すると，

• $0<x<1$ では $f''(x)<0$
• $1<x<e^a$ では $f''(x)>0$
• $e^a<x<e^b$ では $f''(x)<0$
• $x>e^b$ では $f''(x)>0$

となる。

したがって曲線は

• $0<x<1,\ e^a<x<e^b$ で上に凸
• $1<x<e^a,\ x>e^b$ で下に凸

である。

また，$f''(x)$ の符号が変わるので，変曲点は

$$ (1,0),\qquad \left(e^a,\frac{a^3}{e^a}\right),\qquad \left(e^b,\frac{b^3}{e^b}\right) $$

である。

さらに，

• $x\to 0+$ のとき，$\log x\to -\infty$ より $f(x)\to -\infty$
• $x\to \infty$ のとき，$f(x)\to 0$

である。

したがってグラフは，左下から増加して $(1,0)$ を水平に通過し，その後も増加して $x=e^3$ で最大となり，以後は減少しながら $x$ 軸の正の側から $0$ に近づく形になる。

解説

この問題では，まず

$$ f'(x)=\frac{(\log x)^{n-1}(n-\log x)}{x^2} $$

まで正確に計算できるかどうかが決定的である。以後は $x^2>0$ に注意して，$\log x$ と $n-\log x$ の符号を整理すればよい。

特に $n$ の奇偶で $(\log x)^{n-1}$ の符号の扱いが変わる点が重要である。$n$ が奇数のときは $x=1$ で導関数が $0$ になっても極値にならない。

また $n=3$ の場合は，$x=1$ が極値ではなく変曲点になる。水平接線をもちながら通過する点であることが，グラフの概形を決める大事な特徴である。

答え

**(1)**

$n$ が奇数のとき

$f(x)$ は $0<x<e^n$ で増加，$x>e^n$ で減少する。

$x=e^n$ で極大値

$$ \left(\frac{n}{e}\right)^n $$

をとる。

極小値はない。

なお，$x=1$ では $f'(1)=0$ であるが極値ではない。

$n$ が偶数のとき

$f(x)$ は $0<x<1$ で減少，$1<x<e^n$ で増加，$x>e^n$ で減少する。

$x=1$ で極小値

$$ 0 $$

をとり，$x=e^n$ で極大値

$$ \left(\frac{n}{e}\right)^n $$

をとる。

**(2)**

$n=3$ のとき

$$ a=\frac{9-\sqrt{33}}{4},\qquad b=\frac{9+\sqrt{33}}{4} $$

とおくと，

$0<x<1,\ e^a<x<e^b$ で上に凸

$1<x<e^a,\ x>e^b$ で下に凸

である。

変曲点は

$$ (1,0),\qquad \left(e^a,\frac{a^3}{e^a}\right),\qquad \left(e^b,\frac{b^3}{e^b}\right) $$

である。

また，増減は $0<x<e^3$ で増加，$x>e^3$ で減少であり，$x=e^3$ で極大値

$$ \frac{27}{e^3} $$

をとる。グラフは $(1,0)$ を水平に通過し，右方では $x$ 軸の正の側から $0$ に近づく。