解説

方針・初手

分母が $x+1$ であるから、$x=-1$ における振る舞いを見るには、分子が $x+1$ を因数にもつかどうかが重要である。

また、

$$ lx^2+mx+n=(x+1){lx+(m-l)}+(l-m+n) $$

と変形できるので、$l-m+n$ の符号が （1） の極限の存在条件にも、（2） の極値の有無にもそのまま関係する。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac{lx^2+mx+n}{x+1} $$

について、上の恒等式より

$$ f(x)=lx+(m-l)+\frac{l-m+n}{x+1} $$

と書ける。

（1） 極限値 $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{lx^2+mx+n}{x+1}$ が存在する条件

$x\to -1$ のとき、分母 $x+1$ は $0$ に近づく。したがって極限値が有限に存在するためには、分子も $x=-1$ で $0$ にならなければならない。

よって必要十分条件は

$$ l(-1)^2+m(-1)+n=0 $$

すなわち

$$ l-m+n=0 $$

である。

これは

$$ m=l+n $$

と同値である。$l,n,m$ はいずれも $1,2,3,4,5,6$ のいずれかであるから、$m=l+n$ となる組を数えればよい。

$l+n=s$ とおくと、$m=s$ でなければならず、さらに $m\le 6$ であるから $s=2,3,4,5,6$ の場合だけを考えればよい。

それぞれの $s$ に対する $(l,n)$ の組の個数は

$$ \begin{aligned} s=2&:\ 1個,\\ s=3&:\ 2個,\\ s=4&:\ 3個,\\ s=5&:\ 4個,\\ s=6&:\ 5個 \end{aligned} $$

である。したがって条件を満たす組の総数は

$$ 1+2+3+4+5=15 $$

通りである。

全事象は $6^3=216$ 通りだから、求める確率は

$$ \frac{15}{216}=\frac{5}{72} $$

である。

（2） $x>-1$ の範囲で極値をとる条件

上で得た式を微分すると

$$ f'(x)=l-\frac{l-m+n}{(x+1)^2} $$

となる。

$f'(x)=0$ となるためには

$$ l=\frac{l-m+n}{(x+1)^2} $$

すなわち

$$ (x+1)^2=\frac{l-m+n}{l} $$

でなければならない。

ここで $l>0$ であり、また $x>-1$ だから $x+1>0$ である。したがって実際に解をもつための必要十分条件は

$$ l-m+n>0 $$

である。

このとき

$$ x=-1+\sqrt{\frac{l-m+n}{l}} $$

がただ1つ定まり、さらに

$$ f''(x)=\frac{2(l-m+n)}{(x+1)^3} $$

であり、$x>-1$ では $(x+1)^3>0$ だから、$l-m+n>0$ のもとで $f''(x)>0$ となる。よってこの点で極小値をとる。

したがって、$x>-1$ で極値をとる条件は

$$ l-m+n>0 $$

である。

そこで、この条件を満たす確率を求める。

補集合 $l-m+n\le 0$、すなわち

$$ m\ge l+n $$

となる場合を数える。

$l+n=s$ とおくと、$s=2,3,4,5,6$ のときだけ可能であり、そのとき $m$ の取り方は

$$ m=s,s+1,\dots,6 $$

より $7-s$ 通りある。また $(l,n)$ の組の個数は $s-1$ 通りである。

よって補集合の個数は

$$ \sum_{s=2}^{6}(s-1)(7-s) =1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1 =35 $$

通りである。

したがって、求める個数は

$$ 216-35=181 $$

通りであり、求める確率は

$$ \frac{181}{216} $$

である。

解説

この問題の要点は、分子を $x+1$ で割った余りが $l-m+n$ になることである。

（1） では、$x=-1$ で分母が $0$ になるので、分子も同時に $0$ にならなければ極限値は有限に存在しない。その条件が $l-m+n=0$ である。

（2） では、微分すると再び $l-m+n$ が現れる。$f'(x)=0$ が解をもつのは $l-m+n>0$ のときだけであり、そのときは $x>-1$ にただ1つ臨界点ができ、そこで極小値をとる。

つまり、この問題はどちらも $l-m+n$ の値をどう数えるかに帰着する。

答え

**(1)**

$\displaystyle \frac{5}{72}$

**(2)**

$\displaystyle \frac{181}{216}$