解説

方針・初手

まず積分を実行して $g(x)$ を多項式で表す。 そのうえで $g'(x),g''(x)$ を求めれば，増減，凹凸，極値，変曲点が一通り判定できる。 最後に $g(x)$ の符号を見れば，$x$ 軸と囲まれる部分の面積も求まる。

解法1

**(1)**

$g(x)$ を求める。

$$ \begin{aligned} g(x) &=\int_0^x (x-2t)(t^2-3t+1),dt \\ &=x\int_0^x (t^2-3t+1),dt-2\int_0^x (t^3-3t^2+t),dt. \end{aligned} $$

それぞれ計算すると，

$$ \int_0^x (t^2-3t+1),dt =\left[\frac{t^3}{3}-\frac{3}{2}t^2+t\right]_0^x =\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}x^2+x $$

$$ \int_0^x (t^3-3t^2+t),dt =\left[\frac{t^4}{4}-t^3+\frac{t^2}{2}\right]_0^x =\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{x^2}{2} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} g(x) &=x\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}x^2+x\right)-2\left(\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{x^2}{2}\right) \\ &=\frac{x^4}{3}-\frac{3}{2}x^3+x^2-\frac{x^4}{2}+2x^3-x^2 \\ &=-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2} \\ &=\frac{x^3(3-x)}{6}. \end{aligned} $$

したがって，

$$ g(x)=\frac{x^3(3-x)}{6} $$

である。

（2） 増減，凹凸，極値，変曲点を調べる。

まず導関数を求めると，

$$ g'(x)=\left(-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}\right)' =-\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2 =\frac{x^2(9-4x)}{6} $$

$$ g''(x)=\left(\frac{x^2(9-4x)}{6}\right)' =3x-2x^2 =x(3-2x) $$

となる。

$g'(x)=0$ は

$$ x=0,\ \frac{9}{4} $$

であり，$x^2\geqq 0$ だから，$g'(x)$ の符号は $9-4x$ の符号で決まる。よって

• $x<\dfrac{9}{4}$ で $g'(x)>0$
• $x>\dfrac{9}{4}$ で $g'(x)<0$

である。したがって，$g(x)$ は

• $(-\infty,\dfrac{9}{4})$ で増加
• $(\dfrac{9}{4},\infty)$ で減少

する。

また，

$$ g\left(\frac{9}{4}\right) =\frac{1}{6}\left(\frac{9}{4}\right)^3\left(3-\frac{9}{4}\right) =\frac{729}{512} $$

より，$x=\dfrac{9}{4}$ で極大値 $\dfrac{729}{512}$ をとる。 $x=0$ では $g'(0)=0$ であるが，前後で増減は変わらないので極値ではない。

次に $g''(x)=0$ は

$$ x=0,\ \frac{3}{2} $$

である。符号を調べると，

• $x<0$ で $g''(x)<0$
• $0<x<\dfrac{3}{2}$ で $g''(x)>0$
• $x>\dfrac{3}{2}$ で $g''(x)<0$

となる。したがって，

• $(-\infty,0),\ (\dfrac{3}{2},\infty)$ で上に凸
• $(0,\dfrac{3}{2})$ で下に凸

である。

また，$x=0,\dfrac{3}{2}$ で $g''$ の符号が変わるから，変曲点は

$$ (0,0),\ \left(\frac{3}{2},g\left(\frac{3}{2}\right)\right) $$

である。ここで

$$ g\left(\frac{3}{2}\right) =\frac{1}{6}\left(\frac{3}{2}\right)^3\left(3-\frac{3}{2}\right) =\frac{27}{32} $$

だから，変曲点は

$$ (0,0),\ \left(\frac{3}{2},\frac{27}{32}\right) $$

である。

以上を表にまとめると，次のようになる。

| $x$ | $(-\infty,0)$ | $0$ | $(0,\dfrac{3}{2})$ | $\dfrac{3}{2}$ | $(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$ | $\dfrac{9}{4}$ | $(\dfrac{9}{4},\infty)$ | | -------- | ------------- | --- | ------------------ | -------------- | ----------------------------- | -------------- | ----------------------- | | $g'(x)$ | $+$ | $0$ | $+$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | 増減 | 増加 | | 増加 | | 増加 | 極大 | 減少 | | $g''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $-$ | | 凹凸 | 上に凸 | 変曲点 | 下に凸 | 変曲点 | 上に凸 | | 上に凸 |

極大値は

$$ \frac{729}{512} $$

であり，極小値は存在しない。

（3） グラフの概形を述べる。

$$ g(x)=\frac{x^3(3-x)}{6} $$

であるから，$x$ 軸との交点は

$$ x=0,\ 3 $$

である。しかも $x=0$ は $3$ 重解なので，原点では接線が水平で，そこを通って $x$ 軸を横切る。

さらに，

• $x\to -\infty$ で $g(x)\to -\infty$
• $x=0$ で変曲点 $(0,0)$
• $0<x<\dfrac{9}{4}$ で増加
• $x=\dfrac{3}{2}$ で変曲点 $\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{27}{32}\right)$
• $x=\dfrac{9}{4}$ で極大点 $\left(\dfrac{9}{4},\dfrac{729}{512}\right)$
• $x=3$ で $x$ 軸と交わる
• $x\to \infty$ で $g(x)\to -\infty$

となる。

したがって，グラフは左下から上昇して原点を水平に通過し，その後いったん下に凸になってから上に凸に戻り，$x=\dfrac{9}{4}$ で極大をとったのち下降して $x=3$ で $x$ 軸を横切り，さらに右下へ向かう形である。

**(4)**

$x$ 軸と囲まれる部分の面積を求める。

$$ g(x)=\frac{x^3(3-x)}{6} $$

より，

• $x<0$ では $g(x)<0$
• $0<x<3$ では $g(x)>0$
• $x>3$ では $g(x)<0$

である。したがって，$x$ 軸と囲まれる有限部分は $0\leqq x\leqq 3$ の部分だけである。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_0^3 g(x),dx =\int_0^3 \left(-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}\right),dx $$

$$ \begin{aligned} S &=\left[-\frac{x^5}{30}+\frac{x^4}{8}\right]_0^3 \\ &=-\frac{243}{30}+\frac{81}{8} \\ &=\frac{81}{40}. \end{aligned} $$

したがって，求める面積は

$$ \frac{81}{40} $$

である。

解説

この問題の本質は，積分で定義された関数をまず多項式に直してしまうことである。 $g(x)$ が四次関数になれば，あとは通常の微分法で増減，凹凸，極値，変曲点を機械的に調べられる。

特に $g(x)=\dfrac{x^3(3-x)}{6}$ と因数分解できることが重要で，これにより

• $x$ 軸との交点が $x=0,3$
• $x=0$ が $3$ 重解であるため，原点で水平に $x$ 軸を横切る
• 面積は $[0,3]$ での積分だけ見ればよい

ことがすぐ分かる。

答え

**(1)**

$$ g(x)=-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}=\frac{x^3(3-x)}{6} $$

**(2)**

増加区間：$(-\infty,\dfrac{9}{4})$

減少区間：$(\dfrac{9}{4},\infty)$

極大値：$x=\dfrac{9}{4}$ で

$$ \frac{729}{512} $$

極小値：存在しない

上に凸：$(-\infty,0),\ (\dfrac{3}{2},\infty)$

下に凸：$(0,\dfrac{3}{2})$

変曲点：

$$ (0,0),\ \left(\frac{3}{2},\frac{27}{32}\right) $$

**(3)**

グラフは $(0,0)$ と $(3,0)$ を通り，原点では水平に $x$ 軸を横切る。

$\left(\dfrac{9}{4},\dfrac{729}{512}\right)$ で極大をとり，変曲点は $(0,0)$ と $\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{27}{32}\right)$ である。

**(4)**

$$ \frac{81}{40} $$