解説

方針・初手

まず $f(x)=x{(\log x)^2-3}$ を微分して，増減や接線の傾きを調べる。 この関数は $\log x$ を含むので，$f'(x),f''(x)$ を $\log x$ の式として整理すると符号判定がしやすい。

また，定積分はそのまま部分積分してもよいが，$t=\log x$ とおくと指数関数の積分に直せるので計算しやすい。

解法1

（1） 接線の方程式

点 $(1,-3)$ が曲線上にあることは

$$ f(1)=1{(\log 1)^2-3}=-3 $$

より確かめられる。

次に微分すると，

$$ \begin{aligned} f'(x) &={(\log x)^2-3}+x\cdot 2\log x\cdot \frac{1}{x} \\ &=(\log x)^2+2\log x-3 \\ &=(\log x+3)(\log x-1) \end{aligned} $$

したがって，$x=1$ における接線の傾きは

$$ f'(1)=(\log 1)^2+2\log 1-3=-3 $$

である。

よって，求める接線は

$$ y+3=-3(x-1) $$

すなわち

$$ y=-3x $$

である。

（2） 増減，極値，凹凸，変曲点

まず増減を調べるために $f'(x)$ の符号を見る。

$$ f'(x)=(\log x+3)(\log x-1) $$

より，

$$ f'(x)=0 \iff \log x=-3,\ 1 \iff x=e^{-3},\ e $$

である。

ここで $\log x$ の値に着目すると，

• $0<x<e^{-3}$ では $\log x<-3$ であるから $f'(x)>0$
• $e^{-3}<x<e$ では $-3<\log x<1$ であるから $f'(x)<0$
• $x>e$ では $\log x>1$ であるから $f'(x)>0$

となる。

したがって，$f(x)$ は

• $(0,e^{-3})$ で増加
• $(e^{-3},e)$ で減少
• $(e,\infty)$ で増加

する。

よって，$x=e^{-3}$ で極大，$x=e$ で極小となる。 その値は

$$ f(e^{-3})=e^{-3}{(-3)^2-3}=6e^{-3}=\frac{6}{e^3} $$

$$ f(e)=e(1-3)=-2e $$

である。

次に凹凸を調べる。さらに微分して

$$ \begin{aligned} f''(x) &=\frac{2\log x}{x}+\frac{2}{x} \\ &=\frac{2(\log x+1)}{x} \end{aligned} $$

を得る。ここで $x>0$ なので，$f''(x)$ の符号は $\log x+1$ の符号で決まる。

$$ f''(x)=0 \iff \log x=-1 \iff x=e^{-1} $$

であり，

• $0<x<e^{-1}$ では $\log x<-1$ だから $f''(x)<0$
• $x>e^{-1}$ では $\log x>-1$ だから $f''(x)>0$

となる。

したがって，

• $(0,e^{-1})$ では上に凸
• $(e^{-1},\infty)$ では下に凸

である。

よって，$x=e^{-1}$ で変曲点をもち，その座標は

$$ f(e^{-1})=e^{-1}{(-1)^2-3}=-\frac{2}{e} $$

より，

$$ \left(\frac{1}{e},-\frac{2}{e}\right) $$

である。

（3） 定積分 $I=\displaystyle\int_1^e f(x),dx$

$$ I=\int_1^e x{(\log x)^2-3},dx $$

とする。ここで

$$ t=\log x $$

とおくと，

$$ x=e^t,\quad dx=e^t,dt $$

であり，$x=1$ のとき $t=0$, $x=e$ のとき $t=1$ である。したがって

$$ \begin{aligned} I &=\int_0^1 e^t(t^2-3)e^t,dt \\ &=\int_0^1 e^{2t}(t^2-3),dt \end{aligned} $$

となる。

まず

$$ \int e^{2t}t^2,dt =\frac{1}{2}e^{2t}t^2-\int e^{2t}t,dt =e^{2t}\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\right) $$

であり，また

$$ \int 3e^{2t},dt=\frac{3}{2}e^{2t} $$

だから，

$$ \int e^{2t}(t^2-3),dt =e^{2t}\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{2}-\frac{5}{4}\right) $$

である。

よって，

$$ \begin{aligned} I &=\left[e^{2t}\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{2}-\frac{5}{4}\right)\right]_0^1 \\ &=e^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{5}{4}\right)-\left(-\frac{5}{4}\right) \\ &=-\frac{5}{4}e^2+\frac{5}{4} \end{aligned} $$

したがって

$$ I=-\frac{5}{4}(e^2-1) $$

である。

解説

この問題では，$x$ の関数としてそのまま眺めるよりも，$\log x$ を一つの文字とみて整理することが重要である。

特に

$$ f'(x)=(\log x+3)(\log x-1),\qquad f''(x)=\frac{2(\log x+1)}{x} $$

と因数分解・整理できるので，増減と凹凸の判定がすぐにできる。

また，定積分では $t=\log x$ とおくと $x=e^t,\ dx=e^t,dt$ となり，$x(\log x)^2$ を含む形が $e^{2t}(t^2-3)$ に変わる。対数を含む積分でよく使う置換である。

答え

**(1)**

接線の方程式は

$$ y=-3x $$

**(2)**

増減は

$(0,e^{-3})$ で増加

$(e^{-3},e)$ で減少

$(e,\infty)$ で増加

極大は $x=e^{-3}$ のときで，極大値は

$$ \frac{6}{e^3} $$

極小は $x=e$ のときで，極小値は

$$ -2e $$

凹凸は

$(0,e^{-1})$ で上に凸

$(e^{-1},\infty)$ で下に凸

変曲点は

$$ \left(\frac{1}{e},-\frac{2}{e}\right) $$

**(3)**

$$ I=\int_1^e f(x),dx=-\frac{5}{4}(e^2-1) $$