解説

方針・初手

$\log x$ が何度も現れるので、まず

$$ t=\log x $$

とおくと見通しがよい。すると $x=e^t$ であり、

$$ g(x)=\frac{(1-\log x)\log x}{x}=\frac{t-t^2}{e^t}=(t-t^2)e^{-t} $$

と書ける。

$x>0$ に対して $t=\log x$ は単調増加であるから、$t$ について調べた結果をそのまま $x$ に戻せばよい。

解法1

（1） 曲線 $y=g(x)$ と $x$ 軸の交点

$x$ 軸との交点では $g(x)=0$ である。

$$ \frac{(1-\log x)\log x}{x}=0 $$

$x>0$ より分母 $x$ は $0$ にならないから、分子が $0$ であればよい。したがって

$$ (1-\log x)\log x=0 $$

より、

$$ \log x=0 \quad \text{または} \quad 1-\log x=0 $$

である。よって

$$ x=1,\ e $$

となる。

（2） 極大値を与える $x$

まず導関数を求める。

$$ g(x)=\frac{\log x-(\log x)^2}{x} $$

より、

$$ g'(x)=\frac{{1-2\log x}x-{\log x-(\log x)^2}}{x^2} $$

整理すると

$$ g'(x)=\frac{(\log x)^2-3\log x+1}{x^2} $$

である。

ここで

$$ t=\log x $$

とおくと、

$$ g'(x)=\frac{t^2-3t+1}{x^2} $$

となる。$x^2>0$ だから、$g'(x)$ の符号は

$$ t^2-3t+1 $$

の符号で決まる。

$$ t^2-3t+1=0 $$

を解くと

$$ t=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} $$

である。したがって臨界点は

$$ x=e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}},\ e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} $$

である。

さらに、$t^2-3t+1$ は上に凸の二次式であるから、符号は

• $t<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ で正
• $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}<t<\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ で負
• $t>\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ で正

となる。

$t=\log x$ は $x$ とともに増加するので、$g(x)$ は

• $x<e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ で増加
• $e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}<x<e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ で減少
• $x>e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ で増加

する。よって極大値を与えるのは

$$ x=e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} $$

である。

（3） 極小値を与える $x$

上の増減より、減少から増加に変わる点は

$$ x=e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} $$

である。

したがって、極小値を与えるのは

$$ x=e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} $$

である。

（4） 変曲点の $x$ 座標

$g'(x)=\dfrac{(\log x)^2-3\log x+1}{x^2}$ をさらに微分する。

$$ g''(x) =\frac{(2\log x-3)x^2-{(\log x)^2-3\log x+1}\cdot 2x}{x^4} $$

整理すると

$$ g''(x)=\frac{-2(\log x)^2+8\log x-5}{x^3} $$

である。

ここで再び $t=\log x$ とおくと、

$$ g''(x)=\frac{-2t^2+8t-5}{x^3} $$

となる。$x^3>0$ だから、変曲点は

$$ -2t^2+8t-5=0 $$

すなわち

$$ 2t^2-8t+5=0 $$

を解けばよい。

$$ t=\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{4} =\frac{8\pm2\sqrt{6}}{4} =2\pm\frac{\sqrt{6}}{2} $$

よって変曲点の $x$ 座標は

$$ x=e^{,2-\frac{\sqrt6}{2}},\ e^{,2+\frac{\sqrt6}{2}} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\log x$ をそのまま抱えたまま計算するよりも、$t=\log x$ とおいて二次式として処理することである。

特に極値や変曲点は、$g'(x)$ や $g''(x)$ の分母が $x^2,\ x^3$ で常に正であることを使えば、結局は $\log x$ に関する二次式の符号を調べる問題になる。したがって、計算の本質は二次方程式の解と符号判定である。

答え

$$ \text{（1） } x=1,\ e $$

$$ \text{（2） } x=e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} $$

$$ \text{（3） } x=e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} $$

$$ \text{（4） } x=e^{,2-\frac{\sqrt6}{2}},\ e^{,2+\frac{\sqrt6}{2}} $$