解説

方針・初手

指数関数の形のまま扱うよりも、まず対数を取って

$$ \log f(x)=\frac{\log(x+1)}{x+1} $$

とおくのが自然である。これを微分すれば増減が直ちに分かり、最大値も求まる。また、極限も $\log f(x)$ を見れば処理しやすい。

解法1

**(1)**

$f(x)$ の最大値を求める。

$f(x)>0$ であるから、対数を取って

$$ g(x)=\log f(x)=\frac{\log(x+1)}{x+1} $$

とおく。

すると

$$ g'(x)=\frac{(x+1)\cdot \frac{1}{x+1}-\log(x+1)}{(x+1)^2} =\frac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2} $$

である。

一方、

$$ f(x)=e^{g(x)} $$

より

$$ f'(x)=f(x)g'(x) =f(x)\frac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2} $$

となる。ここで $f(x)>0,\ (x+1)^2>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $1-\log(x+1)$ の符号で決まる。

$$ 1-\log(x+1)=0 \iff \log(x+1)=1 \iff x+1=e \iff x=e-1 $$

したがって、

• $0\le x<e-1$ では $f'(x)>0$
• $x=e-1$ では $f'(x)=0$
• $x>e-1$ では $f'(x)<0$

となる。よって $f(x)$ は $x=e-1$ で最大となる。

そのとき

$$ f(e-1)=e^{1/e} $$

であるから、最大値は

$$ e^{1/e} $$

である。

**(2)**

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x),\ \lim_{x\to\infty}f'(x)$ を求める。

まず

$$ \log f(x)=\frac{\log(x+1)}{x+1} $$

であり、与えられた

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0 $$

を用いれば

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log(x+1)}{x+1}=0 $$

である。したがって

$$ \lim_{x\to\infty}\log f(x)=0 $$

より

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=e^0=1 $$

である。

次に、先ほど求めた導関数

$$ f'(x)=f(x)\frac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2} $$

を用いる。すでに $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$ であり、また

$$ \begin{aligned} \frac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2} &= \frac{1}{(x+1)^2} -\frac{\log(x+1)}{(x+1)^2} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{\log(x+1)}{(x+1)^2} &= \frac{\log(x+1)}{x+1}\cdot \frac{1}{x+1}\to 0 \end{aligned} $$

かつ

$$ \frac{1}{(x+1)^2}\to 0 $$

であるから

$$ \frac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2}\to 0 $$

となる。よって

$$ \lim_{x\to\infty}f'(x)=1\cdot 0=0 $$

である。

（3） グラフの概形を調べる。

これまでに分かったことを整理する。

• 定義域は $x\ge 0$
• $f(0)=1$
• $0\le x<e-1$ で増加する
• $x=e-1$ で最大値 $e^{1/e}$ をとる
• $x>e-1$ で減少する
• $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$

さらに、$x>0$ では $x+1>1,\ \dfrac{1}{x+1}>0$ より

$$ f(x)=(x+1)^{1/(x+1)}>1 $$

である。したがって、$x=0$ で $y=1$ をとったあと上昇し、$x=e-1$ で極大値 $e^{1/e}$ をとり、その後は $y=1$ より上側を保ちながら $y=1$ に近づく。

よって、$y=1$ は右側の水平漸近線である。

解説

この問題の核心は、$t^{1/t}$ 型をそのまま微分しようとせず、対数を取って

$$ \log f(x)=\frac{\log(x+1)}{x+1} $$

に直すことである。すると微分も極限も基本形になる。

また、グラフの概形では、極大値を求めるだけでなく、$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$ と $x>0$ で $f(x)>1$ を確認することが重要である。これにより、右側で $y=1$ に上から近づくことが明確になる。

答え

**(1)**

最大値は

$$ e^{1/e} $$

であり、そのとき $x=e-1$ である。

**(2)**

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=1,\qquad \lim_{x\to\infty}f'(x)=0 $$

**(3)**

グラフは $(0,1)$ を通り、

$0\le x<e-1$ で増加

$x=e-1$ で極大値 $e^{1/e}$

$x>e-1$ で減少

となる。また、$x\to\infty$ で $y=1$ に上から近づく。したがって、右側の水平漸近線は

$$ y=1 $$

である。