解説

方針・初手

与えられた関係式は双曲線正接 $\tanh$ の加法定理と同じ形である。

そこでまず $b=-a$ を代入して $f$ が奇関数であることを出し，次に $f$ が値 $\pm1$ をとれないことを示す。これにより $-1<f(x)<1$ が従う。

そのうえで，関係式を $b$ で微分して $b=0$ とおくと

$$ f'(x)=1-f(x)^2 $$

が得られる。これから単調性と $f''(x)$ の符号を調べればよい。

解法1

まず $b=-a$ を代入する。すると $a+b=0$ であり，$f(0)=0$ だから

$$ 0=f(0)=\frac{f(a)+f(-a)}{1+f(a)f(-a)} $$

となる。仮定より分母は $0$ でないから，

$$ f(-a)=-f(a) $$

である。したがって $f$ は奇関数である。

（1） 任意の実数 $a$ に対して $-1<f(a)<1$ を示す

まず，$f$ は値 $1$ をとれないことを示す。

もしある実数 $c$ について $f(c)=1$ ならば，任意の実数 $x$ に対して

$$ f(c+x)=\frac{f(c)+f(x)}{1+f(c)f(x)} =\frac{1+f(x)}{1+f(x)} =1 $$

となる。ここで分母 $1+f(x)$ は，仮定 $1+f(c)f(x)\ne0$ に $f(c)=1$ を代入したものなので確かに $0$ ではない。

よって $x=-c$ とすると $f(0)=1$ となるが，これは $f(0)=0$ に反する。したがって $f(c)=1$ は不可能である。

同様に，もし $f(c)=-1$ ならば任意の実数 $x$ に対して

$$ f(c+x)=\frac{-1+f(x)}{1-f(x)}=-1 $$

となり，やはり $x=-c$ として $f(0)=-1$ となって矛盾する。よって $f(c)=-1$ も不可能である。

以上より，$f$ は値 $\pm1$ をとらない。

ここで $f$ は微分可能だから連続である。$f(0)=0$ であることと連続性より，もしある $a$ で $f(a)>1$ ならば，中間値の定理により $0$ と $a$ の間のどこかで $f(x)=1$ となるはずであるが，これは不可能である。同様に，もし $f(a)<-1$ ならば途中で $f(x)=-1$ となるはずであり，これも不可能である。

したがって任意の実数 $a$ に対して

$$ -1<f(a)<1 $$

が成り立つ。

（2） $x>0$ で上に凸であることを示す

与えられた関係式

$$ f(a+b)=\frac{f(a)+f(b)}{1+f(a)f(b)} $$

を，$a$ を固定して $b$ で微分し，そのあと $b=0$ とおく。左辺は $f'(a)$ となる。

右辺を微分すると

$$ f'(a)= \frac{f'(0){1+f(a)f(0)}-(f(a)+f(0))f(a)f'(0)} {{1+f(a)f(0)}^2} $$

である。ここで $f(0)=0,\ f'(0)=1$ を用いると

$$ f'(a)=1-f(a)^2 $$

を得る。

（1） より常に $-1<f(a)<1$ だから

$$ f'(a)=1-f(a)^2>0 $$

である。したがって $f$ は全実数で単調増加である。特に $f(0)=0$ であるから，$x>0$ では

$$ f(x)>0 $$

となる。

さらに $f'(x)=1-f(x)^2$ を微分すると

$$ f''(x)=-2f(x)f'(x) $$

である。これに $x>0$ での $f(x)>0$ と $f'(x)>0$ を用いれば

$$ f''(x)<0 \qquad (x>0) $$

が従う。

よって $y=f(x)$ のグラフは $x>0$ で上に凸である。

解法2

まず解法1と同様にして，$f(x)\ne\pm1$ がすべての実数 $x$ で成り立つことが分かる。そこで

$$ g(x)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)} $$

とおく。

与えられた関係式を用いると

$$ \begin{aligned} g(a+b) &=\frac{1+f(a+b)}{1-f(a+b)} \\ &=\frac{1+\dfrac{f(a)+f(b)}{1+f(a)f(b)}} {1-\dfrac{f(a)+f(b)}{1+f(a)f(b)}} \\ &=\frac{(1+f(a))(1+f(b))}{(1-f(a))(1-f(b))} \\ &=g(a)g(b) \end{aligned} $$

となる。

また

$$ g(0)=\frac{1+f(0)}{1-f(0)}=1 $$

である。ここで $g(a+b)=g(a)g(b)$ を $b$ で微分して $b=0$ とおくと

$$ g'(a)=g(a)g'(0) $$

を得る。さらに

$$ g'(0)=\frac{2f'(0)}{(1-f(0))^2}=2 $$

だから

$$ g'(a)=2g(a) $$

となる。$g(0)=1$ と合わせると

$$ g(x)=e^{2x} $$

である。

したがって

$$ \frac{1+f(x)}{1-f(x)}=e^{2x} $$

より

$$ f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} $$

である。

この式からただちに

$$ -1<f(x)<1 $$

が分かる。また

$$ f'(x)=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}>0 $$

であり，

$$ f''(x)=\frac{8e^{2x}(1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^3}<0 \qquad (x>0) $$

であるから，$x>0$ で上に凸である。

解説

この問題の本質は，加法公式から関数の形を読み取ることにある。

まず $b=-a$ を入れると奇関数であることが分かり，さらに値 $\pm1$ をとると平行移動で常に $\pm1$ になってしまうため，$f(0)=0$ と矛盾する。この発想により （1） が処理できる。

その後は $b$ で微分して $f'(x)=1-f(x)^2$ を得るのが決定打である。（1） により右辺が常に正なので単調増加が分かり，$x>0$ では $f(x)>0$ となる。最後に

$$ f''(x)=-2f(x)f'(x) $$

の符号を見れば （2） は直ちに終わる。

なお，解法2のように $g(x)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ と置くと指数関数に帰着し，実際には

$$ f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} $$

すなわち $\tanh x$ であることまで分かる。

答え

**(1)**

任意の実数 $a$ に対して

$$ -1<f(a)<1 $$

である。

**(2)**

$$ f''(x)<0 \qquad (x>0) $$

であるから，$y=f(x)$ のグラフは $x>0$ で上に凸である。