解説

方針・初手

まず $f(x)$ を微分して増減を調べれば、極大・極小が分かる。 そのうえで、$f(-x)=-f(x)$ であることからグラフの対称性も押さえる。

（2） では、$P=(0,p)$、$Q=(x,f(x))$ とおいて距離条件 $PQ=2$ を式にする。 $Q$ が極小点 $M$ を通るときは接線が水平になるので、その瞬間の $Q$ の運動方向が簡単になる。

解法1

関数

$$ f(x)=-xe^{-x^2/2} $$

を考える。

（1） 増減・極値

微分すると

$$ f'(x)=-e^{-x^2/2}+x^2e^{-x^2/2}=e^{-x^2/2}(x^2-1) $$

となる。

ここで $e^{-x^2/2}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $x^2-1$ の符号で決まる。したがって、

• $x<-1$ で $f'(x)>0$
• $-1<x<1$ で $f'(x)<0$
• $x>1$ で $f'(x)>0$

である。

よって、$f(x)$ は

• $(-\infty,-1)$ で増加
• $(-1,1)$ で減少
• $(1,\infty)$ で増加

する。

また、

$$ f(-1)=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt e},\qquad f(1)=-e^{-1/2}=-\frac{1}{\sqrt e} $$

より、

• $x=-1$ で極大値 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt e}$
• $x=1$ で極小値 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt e}$

をとる。

さらに

$$ f(-x)=-(-x)e^{-(-x)^2/2}=xe^{-x^2/2}=-f(x) $$

より、$f(x)$ は奇関数であり、グラフは原点対称である。

また、

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 $$

だから、$x\to\pm\infty$ で $x$ 軸に近づく。

したがってグラフは、原点を通り、左側で山、右側で谷をもち、原点対称な形になる。 特に、極大点は

$$ \left(-1,\frac{1}{\sqrt e}\right) $$

極小点は

$$ \left(1,-\frac{1}{\sqrt e}\right) $$

である。

（2） $Q$ が $M$ を通るときの $P$ の速度

極小点を $M$ とすると、

$$ M=\left(1,-\frac{1}{\sqrt e}\right) $$

である。

点 $P$ は $y$ 軸の正の部分にあるから

$$ P=(0,p)\qquad (p>0) $$

とおく。 また、点 $Q$ を

$$ Q=(x,f(x)) $$

とおく。

条件 $PQ=2$ より、

$$ x^2+(f(x)-p)^2=4 $$

が成り立つ。

ここで $Q$ が $M$ の近くにあるとき、$p>0$ となる方をとれば

$$ p=f(x)+\sqrt{4-x^2} $$

である。これを $x$ で微分すると

$$ \frac{dp}{dx}=f'(x)-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} $$

となる。

いま $x=1$ のとき、$f'(1)=0$ であるから

$$ \left.\frac{dp}{dx}\right|_{x=1} =0-\frac{1}{\sqrt{3}} =-\frac{1}{\sqrt3} $$

を得る。

次に、$Q$ は曲線上を速さ $1$ で、$x$ 座標が増加する向きに動く。 $M$ では接線が水平、すなわち $f'(1)=0$ なので、その瞬間には $Q$ の速度ベクトルは $x$ 軸正方向を向く。したがって

$$ \frac{dx}{dt}=1 $$

である。

よって、

$$ \frac{dp}{dt}=\frac{dp}{dx}\frac{dx}{dt} =-\frac{1}{\sqrt3}\cdot 1 =-\frac{1}{\sqrt3} $$

となる。

したがって、$P$ はその瞬間に下向きに動いており、その速度は

$$ \frac{1}{\sqrt3} $$

である。

解説

この問題の要点は、$e^{-x^2/2}$ が常に正であるため、増減が $x^2-1$ の符号だけで決まることである。したがって極値はすぐに求まる。

（2） では、距離一定の条件を座標で表すことが本質である。さらに、極小点では接線が水平になるため、速さ $1$ で動く $Q$ のその瞬間の運動は $x$ 軸方向だけになる。この観察によって $\dfrac{dx}{dt}=1$ とでき、計算が大きく簡単になる。

答え

**(1)**

増加区間：$(-\infty,-1),\ (1,\infty)$

減少区間：$(-1,1)$

極大値：$\displaystyle \frac{1}{\sqrt e}$（$x=-1$）

極小値：$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt e}$（$x=1$）

グラフは原点対称で、原点を通り、

$$ \left(-1,\frac{1}{\sqrt e}\right),\qquad \left(1,-\frac{1}{\sqrt e}\right) $$

でそれぞれ極大・極小をとり、$x\to\pm\infty$ で $y=0$ に近づく。

**(2)**

$Q$ が $M$ を通るときの $P$ の速度は

$$ \frac{1}{\sqrt3} $$

である。