解説

方針・初手

曲線

$$ y=2\sqrt{x^3}=2x^{3/2}\qquad (x\geqq 0) $$

上を動くので、点 $P$ の座標を

$$ P\bigl(p,,2p^{3/2}\bigr) $$

とみなして、まず $y$ の $p$ に関する微分を求める。 一定の速さ $a$ で動くという条件から速度ベクトルの大きさを使えば （1） が出る。

（2） は、点 $P$ における接線の方程式を求めて $x$ 軸との交点 $Q$ を出し、長さ $l=PQ$ を $p$ で表して微分すればよい。 （3） は （2） の結果の極限をとるだけである。

解法1

曲線

$$ y=2p^{3/2} $$

より、

$$ \frac{dy}{dp}=3\sqrt{p} $$

である。したがって、連鎖律より

$$ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dp}\frac{dp}{dt}=3\sqrt{p},\frac{dp}{dt} $$

となる。

点 $P$ は一定の速さ $a$ で動くから、速度ベクトルの大きさは

$$ \sqrt{\left(\frac{dp}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=a $$

である。ここに $\dfrac{dy}{dt}=3\sqrt{p},\dfrac{dp}{dt}$ を代入すると、

$$ \sqrt{\left(\frac{dp}{dt}\right)^2+9p\left(\frac{dp}{dt}\right)^2}=a $$

すなわち

$$ \left|\frac{dp}{dt}\right|\sqrt{1+9p}=a $$

を得る。原点を出発して曲線上を進むので $p$ は増加し、

$$ \frac{dp}{dt}\geqq 0 $$

であるから、

$$ \frac{dp}{dt}=\frac{a}{\sqrt{1+9p}} $$

となる。これが （1） である。

次に （2） を求める。 点 $P\bigl(p,2p^{3/2}\bigr)$ における接線の傾きは

$$ 3\sqrt{p} $$

であるから、接線の方程式は

$$ y-2p^{3/2}=3\sqrt{p}(x-p) $$

である。これと $x$ 軸との交点を $Q$ とすると、$y=0$ を代入して

$$ -2p^{3/2}=3\sqrt{p}(x-p) $$

となる。$p\geqq 0$ より $\sqrt{p}$ で割ると

$$ -2p=3(x-p) $$

したがって

$$ x=\frac{p}{3} $$

である。よって

$$ Q\left(\frac{p}{3},,0\right) $$

となる。

したがって、

$$ l=PQ =\sqrt{\left(p-\frac{p}{3}\right)^2+\left(2p^{3/2}\right)^2} $$

であり、

$$ l=\sqrt{\left(\frac{2p}{3}\right)^2+4p^3} =\sqrt{\frac{4p^2}{9}+4p^3} =\frac{2p}{3}\sqrt{1+9p} $$

を得る。

これを $t$ で微分すると、

$$ \frac{dl}{dt}=\frac{dl}{dp}\frac{dp}{dt} $$

である。まず

$$ l=\frac{2}{3}p(1+9p)^{1/2} $$

より、

$$ \frac{dl}{dp} =\frac{2}{3}\left\{(1+9p)^{1/2}+p\cdot \frac{9}{2}(1+9p)^{-1/2}\right\} $$

これを整理して

$$ \frac{dl}{dp} =\frac{2+27p}{3\sqrt{1+9p}} $$

となる。さらに （1） の結果

$$ \frac{dp}{dt}=\frac{a}{\sqrt{1+9p}} $$

を用いると、

$$ \frac{dl}{dt} =\frac{2+27p}{3\sqrt{1+9p}}\cdot \frac{a}{\sqrt{1+9p}} =\frac{a(2+27p)}{3(1+9p)} $$

となる。これが （2） である。

最後に （3） は

$$ \lim_{p\to +\infty}\frac{dl}{dt} =\lim_{p\to +\infty}\frac{a(2+27p)}{3(1+9p)} =a\lim_{p\to +\infty}\frac{2+27p}{3+27p} =a $$

である。

解説

この問題の要点は、曲線上の運動を $x$ 座標 $p$ を媒介変数として扱うことである。 一定の速さという条件は、各成分を別々に考えるのではなく、速度ベクトルの大きさ

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} $$

を使うのが本筋である。

また、（2） では接線の方程式から $Q$ を正確に出すことが重要である。$PQ$ の長さを直接 $p$ の式に直してしまえば、あとは連鎖律で処理できる。 （3） の極限が $a$ になるのは、$p$ が大きいところでは接線がかなり急になり、線分 $PQ$ の伸び方が点 $P$ 自身の速さに近づいていくためである。

答え

**(1)**

$$ \frac{dp}{dt}=\frac{a}{\sqrt{1+9p}} $$

**(2)**

$$ \frac{dl}{dt}=\frac{a(2+27p)}{3(1+9p)} $$

**(3)**

$$ \lim_{p\to +\infty}\frac{dl}{dt}=a $$