解説

方針・初手

速度と加速度は、それぞれ位置ベクトルを $t$ で1回、2回微分すれば求まる。 したがって、まず速度ベクトルと加速度ベクトルを求め、その大きさを比較する。

解法1

点 $P$ の位置ベクトルを

$$ \vec{r}(t)=(a\cos t,\ b\sin t) $$

とする。

このとき、速度ベクトルは

$$ \vec{v}(t)=\vec{r},'(t)=(-a\sin t,\ b\cos t) $$

であるから、その大きさは

$$ |\vec{v}(t)|=\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t} $$

となる。

また、加速度ベクトルは

$$ \vec{a}(t)=\vec{r},''(t)=(-a\cos t,\ -b\sin t) $$

であるから、その大きさは

$$ |\vec{a}(t)|=\sqrt{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t} $$

となる。

ここで、速度と加速度の大きさが等しい条件は

$$ \begin{aligned} \sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t} &= \sqrt{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t} \end{aligned} $$

である。両辺はともに正であるから、2乗して

$$ \begin{aligned} a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t &= a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t \end{aligned} $$

を得る。整理すると

$$ (a^2-b^2)(\sin^2 t-\cos^2 t)=0 $$

となる。

ただし $a>b>0$ より $a^2-b^2\neq 0$ であるから、

$$ \sin^2 t=\cos^2 t $$

でなければならない。よって

$$ \cos 2t=0 $$

となり、

$$ 2t=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad (n=0,1,2,\dots) $$

すなわち

$$ t=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2} \quad (n=0,1,2,\dots) $$

である。

解説

この問題では、楕円運動の式が与えられているが、必要なのは軌跡そのものではなく、速度ベクトルと加速度ベクトルの成分である。 したがって、位置を微分して大きさを比較するのが最も直接的である。

また、途中で

$$ (a^2-b^2)(\sin^2 t-\cos^2 t)=0 $$

となったとき、$a>b>0$ という条件から $a^2-b^2\neq 0$ と判断することが重要である。これにより、三角関数の条件だけに帰着できる。

答え

速度と加速度の大きさが等しくなる時刻は

$$ t=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\quad (n=0,1,2,\dots) $$

である。