解説

方針・初手

球の底を $y=0$、上端を $y=20$ とする鉛直座標 $y$ をとる。

深さ $y$ の位置での水の断面は円であり、その半径 $r$ は球の方程式から求まる。したがって、水の体積は「断面積を高さ方向に積分する」ことで表せる。

また、（2） では体積の増加速度 $\dfrac{dV}{dt}=4$ が与えられているので、（1） で得た $V$ を $h$ で微分し、連鎖律

$$ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt} $$

を用いればよい。

解法1

球の半径は $10$ cm であるから、球の中心を $(0,10)$ とみなすと、鉛直断面での円の方程式は

$$ x^2+(y-10)^2=100 $$

である。

深さ $y$ における水面の断面の半径を $r$ とすると、

$$ r^2=100-(y-10)^2 $$

である。これを整理すると、

$$ r^2=100-(y^2-20y+100)=20y-y^2 $$

となる。

したがって、深さ $y$ における断面積 $S(y)$ は

$$ S(y)=\pi r^2=\pi(20y-y^2) $$

である。

よって、水の深さが $h$ cm のときの体積 $V$ は

$$ V=\int_0^h S(y),dy =\pi\int_0^h(20y-y^2),dy $$

となるから、

$$ V=\pi\left[10y^2-\frac{1}{3}y^3\right]_0^h =10\pi h^2-\frac{\pi}{3}h^3 $$

である。したがって、

$$ V=\pi h^2\left(10-\frac{h}{3}\right) =\frac{\pi}{3}h^2(30-h) \qquad (0\le h\le 20) $$

を得る。

次に （2） を求める。

体積を $h$ で微分すると、

$$ \frac{dV}{dh} =\frac{d}{dh}\left(10\pi h^2-\frac{\pi}{3}h^3\right) =20\pi h-\pi h^2 =\pi h(20-h) $$

である。

一方、水は毎秒 $4\ \mathrm{cm^3}$ の割合で入るので、

$$ \frac{dV}{dt}=4 $$

である。よって連鎖律より

$$ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt} $$

すなわち

$$ 4=\pi h(20-h)\frac{dh}{dt} $$

となる。

ここで $h=5$ を代入すると、

$$ 4=\pi\cdot 5\cdot 15\cdot \frac{dh}{dt} =75\pi\frac{dh}{dt} $$

であるから、

$$ \frac{dh}{dt}=\frac{4}{75\pi} $$

となる。

したがって、水面の上昇する速度は

$$ \frac{4}{75\pi}\ \mathrm{cm/s} $$

である。

解説

この問題の要点は、球の一部にたまった水の体積を、各高さでの円形断面の面積を積分して求めることである。

球の体積公式を直接使うのではなく、断面半径 $r$ を高さ $y$ の式で表し、断面積 $\pi r^2$ を積分するのが自然である。すると体積 $V$ が $h$ の式として得られ、あとは related rates の基本公式

$$ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt} $$

を使えば、水面上昇速度が求まる。

答え

**(1)**

$$ V=\frac{\pi}{3}h^2(30-h)\qquad (0\le h\le 20) $$

**(2)**

$$ \frac{dh}{dt}=\frac{4}{75\pi}\ \mathrm{cm/s} $$