解説

方針・初手

$ t=\tan \dfrac{\theta}{2} $ とおくと、

$$ \frac{1-t^2}{1+t^2}=\cos\theta,\qquad \frac{2t}{1+t^2}=\sin\theta $$

という半角の公式がそのまま使える。まずこれで $x,\ y$ を $\theta$ の三角関数で表し、その後 $\theta$ を消去して軌跡を求める。

解法1

**(1)**

$t=\tan \dfrac{\theta}{2}$ とする。

半角の公式より、

$$ \cos\theta=\frac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} $$

であるから、

$$ x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\cos\theta $$

となる。

また、

$$ \sin\theta=\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} $$

より、

$$ y=\frac{6t}{1+t^2}=3\cdot \frac{2t}{1+t^2}=3\sin\theta $$

である。

したがって、

$$ x=\cos\theta,\qquad y=3\sin\theta $$

となる。

（2） （1） の結果を用いると、

$$ x=\cos\theta,\qquad y=3\sin\theta $$

だから、

$$ \left(\frac{y}{3}\right)^2=\sin^2\theta $$

であり、

$$ x^2+\frac{y^2}{9} =\cos^2\theta+\sin^2\theta =1 $$

を得る。

よって軌跡は

$$ x^2+\frac{y^2}{9}=1 $$

で表される楕円である。

ただし、$t$ は実数全体を動くので、$t=\tan \dfrac{\theta}{2}$ に対応する $\theta$ は

$$ -\pi<\theta<\pi $$

の範囲で考えられる。したがって $\theta=\pi$ に対応する点

$$ (-1,0) $$

は実際には取られない。実際、$x=-1$ を元の式で満たす実数 $t$ は存在しない。

また、$t$ が $-\infty$ から $+\infty$ へ増加するとき、$\theta$ も $-\pi$ から $\pi$ へ増加するので、点 $(x,y)$ は楕円

$$ x^2+\frac{y^2}{9}=1 $$

の上を、$(-1,0)$ の近くの下側から出発して

$$ (0,-3)\to (1,0)\to (0,3) $$

を通り、$(-1,0)$ の近くの上側へ向かって、反時計回りに動く。

解説

この問題の本質は、$t=\tan \dfrac{\theta}{2}$ という置き換えが有理式を三角関数に直す標準手法であることにある。すると $x=\cos\theta,\ y=3\sin\theta$ となり、楕円の媒介変数表示に一致する。

ただし、ここで見落としやすいのは $(-1,0)$ の扱いである。式 $ x^2+\dfrac{y^2}{9}=1 $ だけを見ると楕円全体に見えるが、実際の媒介変数 $t$ は有限実数しか取らないため、$(-1,0)$ は極限では近づけても到達しない。

答え

**(1)**

$$ x=\cos\theta,\qquad y=3\sin\theta $$

**(2)**

軌跡は

$$ x^2+\frac{y^2}{9}=1 $$

で表される楕円である。ただし点 $(-1,0)$ は含まれない。点は $t$ の増加とともにこの楕円上を反時計回りに動く。