解説

方針・初手

位置ベクトル $\vec{OP}=(x(t),y(t))$ を $t$ で微分すれば速度ベクトル $\vec v$ が得られる。

したがって、まず $x(t),y(t)$ をそれぞれ微分し、その成分から $|\vec v|$ を求める。

解法1

点 $P$ の位置ベクトルは

$$ \vec{OP}=\bigl(e^{\alpha t}\cos t,\ e^{\alpha t}\sin t\bigr) $$

であるから、速度ベクトル $\vec v$ は

$$ \vec v =\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) $$

である。

ここで

$$ \frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(e^{\alpha t}\cos t\bigr) =e^{\alpha t}(\alpha\cos t-\sin t) $$

$$ \frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(e^{\alpha t}\sin t\bigr) =e^{\alpha t}(\alpha\sin t+\cos t) $$

したがって

$$ \vec v =\bigl(e^{\alpha t}(\alpha\cos t-\sin t),\ e^{\alpha t}(\alpha\sin t+\cos t)\bigr) $$

となる。

よって、その大きさは

$$ |\vec v| =\sqrt{\left(e^{\alpha t}(\alpha\cos t-\sin t)\right)^2+\left(e^{\alpha t}(\alpha\sin t+\cos t)\right)^2} $$

$$ =e^{\alpha t}\sqrt{(\alpha\cos t-\sin t)^2+(\alpha\sin t+\cos t)^2} $$

である。

中を整理すると

$$ \begin{aligned} (\alpha\cos t-\sin t)^2+(\alpha\sin t+\cos t)^2 &=\alpha^2\cos^2 t-2\alpha\sin t\cos t+\sin^2 t \\ &\quad +\alpha^2\sin^2 t+2\alpha\sin t\cos t+\cos^2 t \\ &=\alpha^2(\sin^2 t+\cos^2 t)+(\sin^2 t+\cos^2 t) \\ &=\alpha^2+1 \end{aligned} $$

したがって

$$ |\vec v|=e^{\alpha t}\sqrt{\alpha^2+1} $$

となる。

解法2

この曲線は

$$ x=e^{\alpha t}\cos t,\qquad y=e^{\alpha t}\sin t $$

より、極座標で見ると

$$ r=e^{\alpha t},\qquad \theta=t $$

を表している。

極座標における速さは

$$ |\vec v|=\sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\left(r\frac{d\theta}{dt}\right)^2} $$

である。

ここで

$$ \frac{dr}{dt}=\alpha e^{\alpha t},\qquad \frac{d\theta}{dt}=1 $$

だから

$$ |\vec v| =\sqrt{(\alpha e^{\alpha t})^2+(e^{\alpha t})^2} =e^{\alpha t}\sqrt{\alpha^2+1} $$

となる。

解説

この問題は、媒介変数表示された曲線の速度ベクトルの大きさを求める基本問題である。

解法1のように成分を直接微分してもよいが、この曲線は $r=e^{\alpha t},\ \theta=t$ という極座標表示になっているので、解法2のほうが構造が見えやすい。

特に、速さが 「半径方向の速さ」と「接線方向の速さ」 の合成で求まることを押さえておくと、同種の問題に強くなる。

答え

$$ |\vec v|=e^{\alpha t}\sqrt{\alpha^2+1} $$