解説

方針・初手

$4^t=(2^t)^2,\ \dfrac{1}{4^t}=\left(\dfrac{1}{2^t}\right)^2$ であるから、$2^t$ を1つの文字で置いて整理するのが自然である。 $2^t=a\ (a>0)$ とおくと、$x,\ y$ をともに $a,\ \dfrac{1}{a}$ で表せるので、$a$ を消去すればよい。

解法1

$a=2^t\ (a>0)$ とおくと、

$$ y=a-\frac{1}{a} $$

であり、また

$$ x=a^2-\frac{1}{a^2} $$

である。

ここで、平方差の形にすると

$$ x=\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a+\frac{1}{a}\right) $$

となるから、

$$ x=y\left(a+\frac{1}{a}\right) $$

を得る。

次に、$y=a-\dfrac{1}{a}$ を2乗すると、

$$ y^2=a^2-2+\frac{1}{a^2} $$

したがって、

$$ a^2+\frac{1}{a^2}=y^2+2 $$

である。よって

$$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}=y^2+4 $$

となる。

しかも $a>0$ より

$$ a+\frac{1}{a}>0 $$

であるから、

$$ a+\frac{1}{a}=\sqrt{y^2+4} $$

である。これを $x=y\left(a+\dfrac{1}{a}\right)$ に代入して、

$$ x=y\sqrt{y^2+4} $$

を得る。

これが $x,\ y$ の満たす関係式である。

なお、両辺を2乗すれば

$$ x^2=y^2(y^2+4)=y^4+4y^2 $$

とも書けるが、この式だけでは $x$ と $y$ の符号関係が落ちるので、元の関係式としては

$$ x=y\sqrt{y^2+4} $$

と表すのが適切である。

解説

この問題の要点は、$4^t$ と $2^t$ が独立なものではなく、$4^t=(2^t)^2$ で結びついていると見ることである。 そこで $a=2^t$ とおくと、$x$ は

$$ a^2-\frac{1}{a^2}=\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a+\frac{1}{a}\right) $$

と因数分解でき、すでに与えられている $y=a-\dfrac{1}{a}$ を使える形になる。

あとは $a+\dfrac{1}{a}$ を $y$ で表せばよいが、このとき $a>0$ なので正の平方根を取ることが重要である。ここを省くと、2乗後の式だけを答えて不要な組まで含めてしまいやすい。

答え

$$ x=y\sqrt{y^2+4} $$

同値な形として

$$ x^2=y^4+4y^2 $$

も成り立つ。