解説

方針・初手

速度 $v(t)$ が与えられているので、位置 $s(t)$ は

$$ s'(t)=v(t)=te^{-2t} $$

を満たす。また、$t=0$ で原点を出発するから

$$ s(0)=0 $$

である。したがって、$s'(t)$ を積分し、初期条件 $s(0)=0$ を用いて積分定数を定めればよい。

解法1

位置 $s(t)$ は

$$ s'(t)=te^{-2t} $$

を満たすから、

$$ s(t)=\int te^{-2t},dt $$

である。

ここで部分積分を用いる。$u=t,\ dv=e^{-2t}dt$ とおくと、

$$ du=dt,\quad v=-\frac{1}{2}e^{-2t} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int te^{-2t},dt &=t\left(-\frac{1}{2}e^{-2t}\right)-\int 1\cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2t}\right),dt \\ &=-\frac{1}{2}te^{-2t}+\frac{1}{2}\int e^{-2t},dt \\ &=-\frac{1}{2}te^{-2t}-\frac{1}{4}e^{-2t}+C \end{aligned} $$

したがって、

$$ s(t)=-\frac{1}{2}te^{-2t}-\frac{1}{4}e^{-2t}+C $$

となる。

初期条件 $s(0)=0$ を用いると、

$$ 0=-\frac{1}{4}+C $$

より

$$ C=\frac{1}{4} $$

である。よって、

$$ s(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}te^{-2t}-\frac{1}{4}e^{-2t} $$

すなわち

$$ s(t)=\frac{1-(2t+1)e^{-2t}}{4} $$

である。

次に、$t\to\infty$ のとき $e^{-2t}\to 0$ であり、さらに $te^{-2t}\to 0$ であるから、

$$ \lim_{t\to\infty}s(t)=\frac{1}{4} $$

となる。

解説

この問題は、速度を積分して位置を求める基本問題である。出発点が与えられているので、積分定数は初期条件 $s(0)=0$ から確定する。

また、極限では $e^{-2t}$ だけでなく $te^{-2t}$ も $0$ に収束することを押さえる必要がある。指数関数は多項式より速く $0$ に近づくので、この種の極限では $te^{-2t}\to 0$ が典型的に用いられる。

答え

$$ \text{(1)}\quad s(t)=\frac{1-(2t+1)e^{-2t}}{4} $$

$$ \text{(2)}\quad \lim_{t\to\infty}s(t)=\frac{1}{4} $$