解説

方針・初手

$x,y$ は媒介変数表示されているので，まず速度ベクトル

$$ \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) $$

を求める。

また

$$ x=e^t\cos \pi t,\qquad y=e^t\sin \pi t $$

より，極座標では

$$ r=e^t,\qquad \theta=\pi t $$

とみなせるので，$t$ が増えると半径が増大しながら反時計回りに回転する曲線であることが分かる。したがって，(3)(4) で求める時刻は接線が鉛直・水平になる点に対応し，(5) の概形にも直結する。

解法1

まず微分すると

$$ \frac{dx}{dt} = e^t\cos \pi t+e^t(-\pi \sin \pi t) = e^t(\cos \pi t-\pi \sin \pi t), $$

$$ \frac{dy}{dt} = e^t\sin \pi t+e^t(\pi \cos \pi t) = e^t(\sin \pi t+\pi \cos \pi t) $$

である。

（1） 時刻 $t=1$ における速度

$t=1$ では

$$ \cos \pi=-1,\qquad \sin \pi=0 $$

より，

$$ \frac{dx}{dt}\Big|*{t=1}=-e,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|*{t=1}=-\pi e. $$

したがって速さは

$$ \sqrt{\left(-e\right)^2+\left(-\pi e\right)^2} = e\sqrt{1+\pi^2} $$

である。

（2） $\dfrac{dx}{dt}=0$ となる最小の正の時刻 $t_0$

$\dfrac{dx}{dt}=0$ より

$$ e^t(\cos \pi t-\pi \sin \pi t)=0. $$

$e^t>0$ だから

$$ \cos \pi t-\pi \sin \pi t=0 $$

すなわち

$$ \tan \pi t=\frac{1}{\pi}. $$

$t>0$ で最も $0$ に近いものを $t_0$ とすると，$\pi t_0$ は第1象限にあるので

$$ \tan (\pi t_0)=\frac{1}{\pi}. $$

ここで直角三角形を考えると，

$$ \sin \pi t_0=\frac{1}{\sqrt{1+\pi^2}},\qquad \cos \pi t_0=\frac{\pi}{\sqrt{1+\pi^2}}. $$

なお

$$ t_0=\frac{1}{\pi}\arctan\frac{1}{\pi} $$

である。

（3） $0<t\leqq 2$ において $\dfrac{dx}{dt}=0$ となる時刻

$\tan \pi t=\dfrac{1}{\pi}$ の周期は $1$ であるから，

$$ t=t_0+n\qquad (n\in \mathbb{Z}) $$

と表せる。

このうち $0<t\leqq 2$ を満たすのは

$$ t=t_0,\qquad t=1+t_0 $$

である。

（4） $0<t\leqq 2$ において $\dfrac{dy}{dt}=0$ となる時刻

$\dfrac{dy}{dt}=0$ より

$$ e^t(\sin \pi t+\pi \cos \pi t)=0, $$

したがって

$$ \sin \pi t+\pi \cos \pi t=0 $$

である。よって

$$ \tan \pi t=-\pi. $$

一方，(2) で

$$ \tan (\pi t_0)=\frac{1}{\pi} $$

であったから，

$$ \tan \left(\frac{\pi}{2}+\pi t_0\right) =-\cot (\pi t_0) =-\pi. $$

よって求める時刻は

$$ t=\frac12+t_0+n\qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

と書ける。

このうち $0<t\leqq 2$ を満たすのは

$$ t=\frac12+t_0,\qquad t=\frac32+t_0 $$

である。

（5） 曲線の概形

極座標で

$$ r=e^t,\qquad \theta=\pi t $$

だから，

$$ r=e^{\theta/\pi}\qquad (0<\theta\leqq 2\pi) $$

となる。したがって，点 $P$ は反時計回りに1回転しながら外側へ広がる対数らせんを描く。

座標軸との交点は，$x=0$ または $y=0$ から求まる。

$x$ 軸との交点

$y=0$ より

$$ e^t\sin \pi t=0 $$

であり，$e^t>0$ だから

$$ \sin \pi t=0. $$

$0<t\leqq 2$ では

$$ t=1,\ 2 $$

である。したがって交点は

$$ (-e,0),\qquad (e^2,0) $$

である。

$y$ 軸との交点

$x=0$ より

$$ e^t\cos \pi t=0 $$

であり，$e^t>0$ だから

$$ \cos \pi t=0. $$

$0<t\leqq 2$ では

$$ t=\frac12,\ \frac32 $$

である。したがって交点は

$$ (0,e^{1/2}),\qquad (0,-e^{3/2}) $$

である。

（3） で得た時刻における点

**(i)**

$t=t_0$ のとき

$$ \begin{aligned} P &= \left( \frac{\pi e^{t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}}, \frac{e^{t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}} \right). \end{aligned} $$

およそ

$$ (1.05,\ 0.34) $$

である。

**(ii)**

$t=1+t_0$ のとき

$$ \begin{aligned} P &= \left( -\frac{\pi e^{1+t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}}, -\frac{e^{1+t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}} \right). \end{aligned} $$

およそ

$$ (-2.85,\ -0.91) $$

である。

（4） で得た時刻における点

**(i)**

$t=\dfrac12+t_0$ のとき

$$ \cos \left(\frac{\pi}{2}+\pi t_0\right)=-\sin \pi t_0,\qquad \sin \left(\frac{\pi}{2}+\pi t_0\right)=\cos \pi t_0 $$

より，

$$ P= \left( -\frac{e^{1/2+t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}},, \frac{\pi e^{1/2+t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}} \right). $$

およそ

$$ (-0.55,\ 1.73) $$

である。

**(ii)**

$t=\dfrac32+t_0$ のとき

$$ \cos \left(\frac{3\pi}{2}+\pi t_0\right)=\sin \pi t_0,\qquad \sin \left(\frac{3\pi}{2}+\pi t_0\right)=-\cos \pi t_0 $$

より，

$$ P= \left( \frac{e^{3/2+t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}},, -\frac{\pi e^{3/2+t_0}}{\sqrt{1+\pi^2}} \right). $$

およそ

$$ (1.50,\ -4.71) $$

である。

以上より，曲線は $(1,0)$ 付近から第1象限へ進み，$y$ 軸正方向，$x$ 軸負方向，$y$ 軸負方向を順に横切り，最後に $(e^2,0)$ に達する外向きのらせんとなる。

解説

この問題の本質は，媒介変数表示をそのまま微分して速度成分を見ることと，

$$ x=e^t\cos \pi t,\qquad y=e^t\sin \pi t $$

を極座標

$$ r=e^t,\qquad \theta=\pi t $$

と読むことである。

$\dfrac{dx}{dt}=0$ は接線が鉛直，$\dfrac{dy}{dt}=0$ は接線が水平になる点を与えるので，(3)(4) の結果はそのまま (5) の概形に反映される。また，(2) の

$$ \tan \pi t_0=\frac1\pi $$

から

$$ \tan \left(\frac{\pi}{2}+\pi t_0\right)=-\pi $$

を導くと，(4) を $t_0$ で簡潔に表せる。

答え

**(1)**

速さは

$$ e\sqrt{1+\pi^2} $$

である。

**(2)**

$$ \sin \pi t_0=\frac{1}{\sqrt{1+\pi^2}},\qquad \cos \pi t_0=\frac{\pi}{\sqrt{1+\pi^2}} $$

である。

**(3)**

$\dfrac{dx}{dt}=0$ となる時刻は

$$ t=t_0,\qquad t=1+t_0 $$

である。

**(4)**

$\dfrac{dy}{dt}=0$ となる時刻は

$$ t=\frac12+t_0,\qquad t=\frac32+t_0 $$

である。

**(5)**

曲線は

$$ r=e^{\theta/\pi}\qquad (0<\theta\leqq 2\pi) $$

で表される対数らせんであり，反時計回りに1回転しながら外側へ広がる。

座標軸との交点は

$$ (-e,0),\quad (e^2,0),\quad (0,e^{1/2}),\quad (0,-e^{3/2}) $$

である。

また，

$$ t=t_0,\ 1+t_0,\ \frac12+t_0,\ \frac32+t_0 $$

における点はそれぞれおよそ

$$ (1.05,0.34),\quad (-2.85,-0.91),\quad (-0.55,1.73),\quad (1.50,-4.71) $$

である。