解説

方針・初手

容器は、$y=0$ の部分が半径 $1$ の底面をつくり、$1\leqq x\leqq 3$ の部分

$$ y=x^2-1 $$

を $y$ 軸のまわりに回転して側面をつくる形である。

したがって、高さ $y$ における水面の半径をまず求め、その断面積を積分すれば体積 $V$ が $h$ の式で表せる。さらに、水の注入速度

$$ \frac{dV}{dt}=2\pi $$

を用いれば、満水になる時刻や $\dfrac{dh}{dt}$ も求められる。

解法1

高さ $y$ における容器の半径を $r$ とする。

側面は

$$ y=x^2-1 $$

で与えられているから、

$$ x=\sqrt{y+1} $$

である。よって、高さ $y$ における断面の半径は

$$ r=\sqrt{y+1} $$

となる。

したがって、その断面積 $S(y)$ は

$$ S(y)=\pi r^2=\pi(y+1) $$

である。

（1） 水面の高さが $h$ のとき、水の体積 $V$ は

$$ V=\int_0^h \pi(y+1),dy $$

より、

$$ V=\pi\left[\frac{1}{2}y^2+y\right]_0^h =\pi\left(\frac{1}{2}h^2+h\right) $$

となる。したがって、

$$ V=\pi\left(\frac{1}{2}h^2+h\right) \qquad (0\leqq h\leqq 8) $$

である。

（2） 容器が満たされるのは、$h=8$ のときである。したがって容器の全体積は

$$ V_{\text{max}} =\pi\left(\frac{1}{2}\cdot 8^2+8\right) =\pi(32+8) =40\pi $$

である。

毎秒 $2\pi$ の割合で注入するので、満水になるまでの時間を $T$ 秒とすると

$$ 2\pi T=40\pi $$

より、

$$ T=20 $$

したがって、容器が水で満たされるのは $20$ 秒後である。

**(3)**

$t=6$ のとき、水の体積は

$$ V=2\pi\cdot 6=12\pi $$

である。これを （1） の式に代入すると、

$$ \pi\left(\frac{1}{2}h^2+h\right)=12\pi $$

すなわち、

$$ \frac{1}{2}h^2+h=12 $$

両辺を $2$ 倍して

$$ h^2+2h-24=0 $$

よって、

$$ (h-4)(h+6)=0 $$

高さは正なので、

$$ h=4 $$

である。

ここで

$$ V=\pi\left(\frac{1}{2}h^2+h\right) $$

を $t$ で微分すると、

$$ \frac{dV}{dt} =\pi(h+1)\frac{dh}{dt} $$

である。一方、

$$ \frac{dV}{dt}=2\pi $$

だから、

$$ 2\pi=\pi(h+1)\frac{dh}{dt} $$

$t=6$ では $h=4$ なので、

$$ 2\pi=5\pi\frac{dh}{dt} $$

したがって、

$$ \frac{dh}{dt}=\frac{2}{5} $$

である。

解説

この問題の要点は、回転体の体積を「高さごとの断面積」で捉えることである。側面の式は $y=x^2-1$ で与えられているので、断面の半径を高さ $y$ の式

$$ x=\sqrt{y+1} $$

に直してから扱うのが自然である。

また、$\dfrac{dh}{dt}$ を求めるには、体積 $V$ と高さ $h$ の関係を作ったうえで、注入速度 $\dfrac{dV}{dt}=2\pi$ と結びつけて微分するのが典型的な処理である。

答え

**(1)**

$$ V=\pi\left(\frac{1}{2}h^2+h\right) \qquad (0\leqq h\leqq 8) $$

**(2)**

$20$ 秒後

**(3)**

$$ \frac{dh}{dt}=\frac{2}{5} $$