解説

方針・初手

高さ $h$ における水面の半径を $x$ とおくと、容器の形より

$$ h=x(1-x) $$

が成り立つ。したがって、その高さでの水面の面積は $\pi x^2$ である。

単位時間あたりに注ぐ水の体積が一定で $V$ であるから、

$$ V=(\text{水面積})\times(\text{水面の上昇速度}) $$

を用いればよい。

解法1

高さ $h$ における水面の半径を $x$ とする。すると

$$ h=x(1-x)=x-x^2 $$

であり、$0\le x\le \dfrac12$ より

$$ x=\frac{1-\sqrt{1-4h}}{2} $$

となる。

このとき、水面の面積 $S$ は

$$ S=\pi x^2 =\pi \left( \frac{1-\sqrt{1-4h}}{2} \right)^2 =\frac{\pi}{4}\left(1-\sqrt{1-4h}\right)^2 $$

である。

水面の上昇速度を $v$ とすると、単位時間あたりに増える体積は $Sv$ であり、これが注ぐ割合 $V$ に等しいから

$$ Sv=V $$

すなわち

$$ v=\frac{V}{S} =\frac{4V}{\pi\left(1-\sqrt{1-4h}\right)^2} \qquad \left(0<h\le \frac14\right) $$

となる。

したがって、（1） の答えは

$$ v(h)=\frac{4V}{\pi\left(1-\sqrt{1-4h}\right)^2} $$

である。

次に、空の容器がいっぱいになるまでの時間を求める。

高さ $y=x(1-x)$、半径 $x$ の薄い円板を考えると、その厚さは

$$ dy=(1-2x),dx $$

である。したがって容器全体の体積 $Q$ は

$$ Q=\pi\int_0^{1/2} x^2,dy =\pi\int_0^{1/2} x^2(1-2x),dx $$

である。

これを計算すると

$$ \begin{aligned} Q &=\pi\int_0^{1/2}(x^2-2x^3),dx \\ &=\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{2}\right]_0^{1/2} \\ &=\pi\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{32}\right) \\ &=\frac{\pi}{96} \end{aligned} $$

となる。

単位時間あたり $V$ ずつ注ぐので、満水になるまでの時間 $T$ は

$$ T=\frac{Q}{V}=\frac{\pi}{96V} $$

である。

したがって、（2） の答えは

$$ T=\frac{\pi}{96V} $$

である。

解説

この問題の要点は、高さ $h$ そのものよりも、その高さでの半径 $x$ を媒介変数として扱うことである。

（1） では「体積の増加率 $=$ 水面積 $\times$ 水位上昇速度」という基本関係を使う。

（2） では容器全体の体積を求めればよく、回転体の体積を薄い円板の積分で計算すれば直ちに時間が出る。高さ $h$ を直接用いて積分するより、$y=x(1-x)$ をそのまま使って $x$ で積分する方が計算が素直である。

答え

**(1)**

$$ v(h)=\frac{4V}{\pi\left(1-\sqrt{1-4h}\right)^2} \qquad \left(0<h\le \frac14\right) $$

**(2)**

$$ \frac{\pi}{96V} $$