解説

方針・初手

高さを $y$ とすると，容器のその高さでの半径は，曲線 $y=e^x-1$ から

$$ x=\ln(y+1) $$

であり，$x\leqq 0$ だから

$$ r=-x=-\ln(y+1) $$

となる。

したがって，高さ $y$ における水面の面積は

$$ A(y)=\pi r^2=\pi{\ln(y+1)}^2 $$

である。

よって，水面の高さが $h$ に達したときの水の体積は

$$ V(h)=\pi\int_{-1}^{h}{\ln(y+1)}^2,dy $$

と表される。これを用いて （1） では体積を求め，（2） では $\dfrac{dV}{dt}=a$ を使って関連速度を求めればよい。

解法1

（1） 水面の高さが $e^c-1$ に達するまでの時間

水面の高さが $h=e^c-1$ のとき，水の体積は

$$ V(e^c-1)=\pi\int_{-1}^{e^c-1}{\ln(y+1)}^2,dy $$

である。

ここで

$$ u=y+1 $$

とおくと，$y=-1$ のとき $u=0$，$y=e^c-1$ のとき $u=e^c$ であるから，

$$ V(e^c-1)=\pi\int_{0}^{e^c}(\ln u)^2,du $$

となる。

また，

$$ \begin{aligned} \int(\ln u)^2,du &= u{(\ln u)^2-2\ln u+2} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} V(e^c-1) &= \pi\left[,u{(\ln u)^2-2\ln u+2},\right]_{0}^{e^c} \end{aligned} $$

となる。ここで $u\to 0^+$ のとき $u(\ln u)^2\to 0,\ u\ln u\to 0$ であるので，下端の値は $0$ になる。

したがって，

$$ \begin{aligned} V(e^c-1) &= \pi e^c(c^2-2c+2) \end{aligned} $$

である。

水は毎秒 $a\ \mathrm{cm^3}$ の割合で注がれるので，要する時間を $t$ 秒とすると

$$ at=V(e^c-1)=\pi e^c(c^2-2c+2) $$

より，

$$ t=\frac{\pi e^c(c^2-2c+2)}{a} $$

となる。

（2） 水面の高さが $b$ に達したとき

水面の高さを $h=h(t)$ とする。このとき

$$ V(h)=\pi\int_{-1}^{h}{\ln(y+1)}^2,dy $$

であり，これを $t$ で微分すると

$$ \begin{aligned} \frac{dV}{dt} &= \pi{\ln(h+1)}^2\frac{dh}{dt} \end{aligned} $$

となる。

水の注がれる割合は毎秒 $a\ \mathrm{cm^3}$ だから，

$$ a=\pi{\ln(h+1)}^2\frac{dh}{dt} $$

である。よって，$h=b$ のときの水面の上昇する速さは

$$ \begin{aligned} \frac{dh}{dt} &= \frac{a}{\pi{\ln(b+1)}^2} \end{aligned} $$

である。

次に，水面の面積 $S$ は

$$ S=\pi{\ln(h+1)}^2 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= 2\pi\ln(h+1)\cdot \frac{1}{h+1}\cdot \frac{dh}{dt} \end{aligned} $$

となる。ここに先ほどの

$$ \begin{aligned} \frac{dh}{dt} &= \frac{a}{\pi{\ln(h+1)}^2} \end{aligned} $$

を代入すると，

$$ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= \frac{2a}{(h+1)\ln(h+1)} \end{aligned} $$

を得る。

したがって，$h=b$ のとき

$$ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= \frac{2a}{(b+1)\ln(b+1)} \end{aligned} $$

である。

なお，$-1<b\leqq 0$ では $\ln(b+1)<0$ なので，この値は負であり，実際には水面の面積は減少している。

解説

この問題の要点は，容器の半径を高さの関数として表すことである。曲線の式を逆にして $x=\ln(y+1)$ と直せば，半径が $r=-\ln(y+1)$ と分かる。

すると，水面の面積はすぐに

$$ A(y)=\pi{\ln(y+1)}^2 $$

と書ける。あとは

$$ \frac{dV}{dt}=a,\qquad \frac{dV}{dt}=A(h)\frac{dh}{dt} $$

を用いれば，水面の上昇速度が求まる。

また，この容器は上に行くほど細くなる形なので，水面が上昇すると水面の面積は小さくなる。そのため，面積の変化率は負になる。

答え

$$ -1<b\leqq 0,\qquad c\leqq 0 $$

**(1)**

水面の高さが $e^c-1\ \mathrm{cm}$ に達するのに要する時間は

$$ \frac{\pi e^c(c^2-2c+2)}{a}\ \text{秒} $$

である。

**(2)**

水面の高さが $b\ \mathrm{cm}$ に達したとき，

水面の上昇する速さは

$$ \frac{a}{\pi{\ln(b+1)}^2}\ \mathrm{cm/s} $$

であり，水面の面積の変化する速さは

$$ \frac{2a}{(b+1)\ln(b+1)}\ \mathrm{cm^2/s} $$

である。ここでこの値は負であるから，水面の面積は減少している。