解説

方針・初手

$x=\sin t,\ y=\dfrac12\cos 2t$ から、まず媒介変数 $t$ を消去して軌跡を求める。

そのうえで、速度ベクトル・加速度ベクトルはそれぞれ $x,y$ を $t$ で微分すればよい。速さの最大値と加速度の大きさの最小値は、二乗して $\sin^2 t$ の式に直して調べるのが自然である。

解法1

$x=\sin t$ より $\sin^2 t=x^2$ である。また

$$ \cos 2t=1-2\sin^2 t $$

であるから、

$$ y=\frac12\cos 2t=\frac12(1-2\sin^2 t)=\frac12-x^2 $$

となる。したがって点 $P$ の軌跡は

$$ y+x^2-\frac12=0 $$

である。よって $[\ツ]=x^2-\dfrac12$ である。

次に速度ベクトルは

$$ \vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=\left(\cos t,-\sin 2t\right) $$

であるから、

$$ [\テ]=\cos t,\qquad [\ト]=-\sin 2t $$

である。

また加速度ベクトルは

$$ \vec{a}=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)=\left(-\sin t,-2\cos 2t\right) $$

であるから、

$$ [\ナ]=-\sin t,\qquad [\ニ]=-2\cos 2t $$

である。

速さ $|\vec{v}|$ が $0$ になるときは、

$$ \cos t=0,\qquad -\sin 2t=0 $$

が同時に成り立つときである。$\cos t=0$ なら $\sin 2t=2\sin t\cos t=0$ も満たされるので、

$$ t=\frac{\pi}{2}+n\pi\qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

である。

このとき

**(i)**

$t=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi$ のとき

$$ x=\sin t=1,\qquad y=\frac12\cos 2t=\frac12\cos\pi=-\frac12 $$

より、

$$ Q\left(1,-\frac12\right) $$

である。

**(ii)**

$t=\dfrac{3\pi}{2}+2n\pi$ のとき

$$ x=\sin t=-1,\qquad y=\frac12\cos 2t=\frac12\cos 3\pi=-\frac12 $$

より、

$$ R\left(-1,-\frac12\right) $$

である。

したがって

$$ [\ヌ]=1,\quad [\ネ]=-\frac12,\quad [\ノ]=-1,\quad [\ハ]=-\frac12 $$

である。

次に $0\le t\le 30$ において点 $P$ が $Q$ を通る回数を数える。$Q(1,-\frac12)$ を通るのは

$$ \sin t=1 $$

すなわち

$$ t=\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

のときである。これが $0\le t\le 30$ に入るのは

$$ k=0,1,2,3,4 $$

の 5 個である。よって

$$ [\ヒ]=5 $$

である。

速さの最大値を求めるため、$u=\sin^2 t\ (0\le u\le 1)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} |\vec{v}|^2 &=\cos^2 t+\sin^2 2t \\ &=(1-u)+4u(1-u) \\ &=1+3u-4u^2 \end{aligned} $$

となる。これは下に凸ではなく上に凸の二次関数であり、最大値は頂点でとる。頂点は

$$ u=\frac{-3}{2(-4)}=\frac38 $$

であり、そのとき

$$ |\vec{v}|^2=1+3\cdot\frac38-4\cdot\frac{9}{64}=\frac{25}{16} $$

となるから、

$$ |\vec{v}|_{\max}=\frac54 $$

である。よって

$$ [\フ]=\frac54 $$

である。

最後に加速度の大きさの最小値を求める。同じく $u=\sin^2 t\ (0\le u\le 1)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} |\vec{a}|^2 &=\sin^2 t+4\cos^2 2t \\ &=u+4(1-2u)^2 \\ &=16u^2-15u+4 \end{aligned} $$

となる。これは下に凸の二次関数なので、最小値は頂点でとる。頂点は

$$ u=\frac{15}{32} $$

であり、そのとき

$$ \begin{aligned} |\vec{a}|^2 &=16\left(\frac{15}{32}\right)^2-15\left(\frac{15}{32}\right)+4 \\ &=\frac{31}{64} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ |\vec{a}|_{\min}=\frac{\sqrt{31}}{8} $$

となる。よって

$$ [\ヘ]=\frac{\sqrt{31}}{8} $$

である。

解説

媒介変数表示の問題では、まず $x=\sin t$ を使って $\sin^2 t$ を $x^2$ に直し、$\cos 2t=1-2\sin^2 t$ を用いて軌跡を出すのが基本である。

また、速さや加速度の大きさは、そのまま扱うより二乗して $\sin^2 t$ の二次式に落とすと、最大最小が機械的に処理できる。今回のように $\sin^2 t$ の範囲が $0\le \sin^2 t\le 1$ と明確なので、二次関数の頂点を調べれば確実である。

答え

$$ [\ツ]=x^2-\frac12 $$

$$ [\テ]=\cos t,\qquad [\ト]=-\sin 2t $$

$$ [\ナ]=-\sin t,\qquad [\ニ]=-2\cos 2t $$

$$ Q\left([\ヌ],[\ネ]\right)=\left(1,-\frac12\right),\qquad R\left([\ノ],[\ハ]\right)=\left(-1,-\frac12\right) $$

$$ [\ヒ]=5,\qquad [\フ]=\frac54,\qquad [\ヘ]=\frac{\sqrt{31}}{8} $$