解説

方針・初手

位置ベクトルを

$$ \vec r(t)=\overrightarrow{OP}=(x,y)=(e^t\cos t,\ e^t\sin t) $$

とおく。すると速度ベクトルは $\vec v=\vec r,'(t)$、加速度ベクトルは $\vec a=\vec r,''(t)$ である。

また、角度は内積

$$ \vec p\cdot \vec q=|\vec p||\vec q|\cos\theta $$

を用いて求める。さらに $\int_0^T |\vec v|,dt$ は点 $P$ の速さの積分であるから、まず $|\vec v|$ を求めればよい。

解法1

（1） 速度ベクトルと加速度ベクトルを求める。

$x=e^t\cos t$ より、

$$ \frac{dx}{dt}=e^t\cos t+e^t(-\sin t)=e^t(\cos t-\sin t) $$

である。

同様に $y=e^t\sin t$ より、

$$ \frac{dy}{dt}=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t) $$

したがって、速度ベクトルは

$$ \vec v=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) =\bigl(e^t(\cos t-\sin t),\ e^t(\sin t+\cos t)\bigr) $$

である。

次に、これをさらに微分する。

まず

$$ \frac{d^2x}{dt^2} =\frac{d}{dt}\left(e^t(\cos t-\sin t)\right) =e^t(\cos t-\sin t)+e^t(-\sin t-\cos t) =-2e^t\sin t $$

であり、

$$ \frac{d^2y}{dt^2} =\frac{d}{dt}\left(e^t(\sin t+\cos t)\right) =e^t(\sin t+\cos t)+e^t(\cos t-\sin t) =2e^t\cos t $$

である。

よって、加速度ベクトルは

$$ \vec a=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right) =\bigl(-2e^t\sin t,\ 2e^t\cos t\bigr) $$

である。

**(2)**

$\overrightarrow{OP}$ と $\vec v$ のなす角を $\theta_1$、$\overrightarrow{OP}$ と $\vec a$ のなす角を $\theta_2$ とする。

まず

$$ \overrightarrow{OP}=(e^t\cos t,\ e^t\sin t) $$

である。

$\theta_1$ を求めるために、内積を計算する。

$$ \overrightarrow{OP}\cdot \vec v =e^t\cos t\cdot e^t(\cos t-\sin t)+e^t\sin t\cdot e^t(\sin t+\cos t) $$

$$ =e^{2t}\bigl(\cos^2 t-\sin t\cos t+\sin^2 t+\sin t\cos t\bigr) =e^{2t} $$

また、それぞれの大きさは

$$ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{e^{2t}\cos^2 t+e^{2t}\sin^2 t}=e^t $$

$$ |\vec v| =\sqrt{e^{2t}(\cos t-\sin t)^2+e^{2t}(\sin t+\cos t)^2} $$

$$ =e^t\sqrt{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2} =e^t\sqrt{2} $$

である。したがって

$$ \cos\theta_1 =\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \vec v}{|\overrightarrow{OP}||\vec v|} =\frac{e^{2t}}{e^t\cdot e^t\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} $$

となるから、

$$ \theta_1=\frac{\pi}{4} $$

である。

次に $\theta_2$ を求める。

$$ \overrightarrow{OP}\cdot \vec a =e^t\cos t\cdot (-2e^t\sin t)+e^t\sin t\cdot 2e^t\cos t =0 $$

したがって $\overrightarrow{OP}$ と $\vec a$ は直交するので、

$$ \theta_2=\frac{\pi}{2} $$

である。

**(3)**

$\int_0^T |\vec v|,dt$ を求める。

すでに

$$ |\vec v|=e^t\sqrt{2} $$

と分かっているから、

$$ \int_0^T |\vec v|,dt =\int_0^T \sqrt{2}e^t,dt =\sqrt{2}\int_0^T e^t,dt $$

$$ =\sqrt{2}\bigl[e^t\bigr]_0^T =\sqrt{2}(e^T-1) $$

である。

解説

この問題は、位置ベクトルをそのまま微分していくのが基本方針である。

$x=e^t\cos t,\ y=e^t\sin t$ は、極形式で見ると半径が $e^t$、偏角が $t$ の点である。したがって、$\overrightarrow{OP}$ に対して速度ベクトル $\vec v$ は斜め方向に進み、加速度ベクトル $\vec a$ は $\overrightarrow{OP}$ と直交する形になる。実際、角度は内積を用いると機械的に求められる。

また、$\int_0^T |\vec v|,dt$ は「速さの積分」であり、ベクトルそのものではなく大きさを積分する点が重要である。

答え

**(1)**

$$ \vec v=\bigl(e^t(\cos t-\sin t),\ e^t(\sin t+\cos t)\bigr) $$

$$ \vec a=\bigl(-2e^t\sin t,\ 2e^t\cos t\bigr) $$

**(2)**

$$ \theta_1=\frac{\pi}{4},\qquad \theta_2=\frac{\pi}{2} $$

**(3)**

$$ \int_0^T |\vec v|,dt=\sqrt{2}(e^T-1) $$