解説

方針・初手

回転体の容器では、高さ $z$ における水面の半径をまず求めると、断面積と体積が高さの関数として表せる。

この問題では、$1 \leqq x \leqq 3$ で

$$ z=x^2-1 $$

であるから、高さ $z$ における容器の半径 $r$ は

$$ r^2=z+1 $$

となる。したがって、水面の面積は高さ $z$ の関数として求まる。

解法1

高さ $z$ における容器の半径を $r$ とすると、

$$ z=r^2-1 $$

より

$$ r=\sqrt{z+1} $$

である。よって、高さ $z$ における水平断面積 $S(z)$ は

$$ S(z)=\pi r^2=\pi(z+1) $$

となる。ただし、容器の上端は $x=3$ に対応するので、

$$ z=3^2-1=8 $$

である。

（1） 容器がいっぱいになるまでの時間

容器全体の体積 $V$ は

$$ V=\int_0^8 \pi(z+1),dz $$

であるから、

$$ \begin{aligned} V &=\pi\int_0^8 (z+1),dz \\ &=\pi\left[\frac{z^2}{2}+z\right]_0^8 \\ &=\pi\left(\frac{64}{2}+8\right) \\ &=40\pi \end{aligned} $$

したがって、毎秒 $\pi\ \mathrm{cm^3}$ の割合で注水するので、満水までの時間 $t$ は

$$ t=\frac{40\pi}{\pi}=40 $$

より、$40$ 秒である。

（2） 注水開始から $4$ 秒後の水面上昇速度

注水開始から $4$ 秒後までに入った水の体積は

$$ 4\pi $$

である。水面の高さを $h$ cm とすると、

$$ \int_0^h \pi(z+1),dz=4\pi $$

より、

$$ \pi\left(\frac{h^2}{2}+h\right)=4\pi $$

すなわち、

$$ \frac{h^2}{2}+h=4 $$

これを解くと、

$$ h^2+2h-8=0 $$

であるから、

$$ (h-2)(h+4)=0 $$

となり、$h>0$ より

$$ h=2 $$

である。

ここで、水面の高さを $h$、体積を $V$ とすると、

$$ \frac{dV}{dt}=\pi $$

であり、また水面の断面積は

$$ \frac{dV}{dh}=S(h)=\pi(h+1) $$

である。したがって、

$$ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt} $$

より、

$$ \pi=\pi(h+1)\frac{dh}{dt} $$

となる。$h=2$ を代入すると、

$$ \pi=3\pi\frac{dh}{dt} $$

ゆえに、

$$ \frac{dh}{dt}=\frac{1}{3} $$

したがって、水面が上昇する速さは

$$ \frac{1}{3}\ \mathrm{cm/s} $$

である。

（3） 注水開始から $4$ 秒後の水面半径の増大速度

水面の半径を $r$ cm とすると、

$$ r=\sqrt{h+1} $$

であるから、

$$ \frac{dr}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{h+1}}\frac{dh}{dt} $$

となる。$h=2$ および $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac13$ を代入すると、

$$ \frac{dr}{dt} =\frac{1}{2\sqrt3}\cdot\frac13 =\frac{1}{6\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{18} $$

したがって、水面の半径が増大する速さは

$$ \frac{\sqrt3}{18}\ \mathrm{cm/s} $$

である。

解説

この問題では、回転体の容器を「高さ $z$ における断面積」で捉えるのが基本方針である。

曲線が $z=x^2-1$ で与えられているので、半径 $x$ を高さ $z$ の関数に直し、断面積を $\pi(z+1)$ と表すのが核心である。その後は、

$$ \text{体積}=\int \text{断面積},dz $$

および

$$ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt} $$

を用いればよい。

特に （2） では、4 秒後の高さ $h$ を先に求めてから微分関係式を使う必要がある。いきなり $\dfrac{dh}{dt}$ を出そうとすると条件が不足するので注意したい。

答え

**(1)**

$40$ 秒

**(2)**

$\dfrac{1}{3}\ \mathrm{cm/s}$

**(3)**

$\dfrac{\sqrt3}{18}\ \mathrm{cm/s}$