解説

方針・初手

点Pの座標は時刻 $t$ において $(ct,0)$ である。

点Qは「点Pを中心とする半径 $r$ の円周上を、点Pから見て角速度 $\omega$ で反時計回りに回る」ので、まず相対位置ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ を三角関数で表す。

（2） では、曲線が交差しないための条件を調べる。$x(t)$ が単調増加なら同じ点を二度通れないので、まず $x'(t)$ を見るのが自然である。逆に単調増加でない場合には、実際に交点が生じることを示す。

解法1

時刻 $t=0$ で

$$ P=(0,0),\qquad Q=(0,-r) $$

であるから、相対位置ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の初期値は

$$ (0,-r) $$

である。

これが角速度 $\omega$ で反時計回りに回転するので、時刻 $t$ における $\overrightarrow{PQ}$ は

$$ (r\sin \omega t,,-r\cos \omega t) $$

と表される。

したがって、点Qの座標 $(x(t),y(t))$ は

$$ (x(t),y(t))=(ct,0)+(r\sin \omega t,,-r\cos \omega t) $$

すなわち

$$ x(t)=ct+r\sin \omega t,\qquad y(t)=-r\cos \omega t $$

である。

次に、この曲線が交差しない条件を調べる。

まず

$$ x'(t)=c+r\omega \cos \omega t $$

である。

**(i)**

$c\ge r\omega$ のとき

$$ x'(t)=c+r\omega \cos \omega t \ge c-r\omega \ge 0 $$

である。

特に $c>r\omega$ なら $x'(t)>0$ であり、$x(t)$ は狭義単調増加である。したがって $t_1\ne t_2$ なら $x(t_1)\ne x(t_2)$ となり、同じ点を二度通ることはない。

また $c=r\omega$ のときは

$$ x'(t)=c(1+\cos \omega t)=2c\cos^2\frac{\omega t}{2}\ge 0 $$

であり、しかも任意の区間で恒等的に $0$ になることはない。よってこの場合も $x(t)$ は狭義単調増加である。したがって曲線は交差しない。

以上より、$c\ge r\omega$ なら曲線は交差しない。

**(ii)**

$c<r\omega$ のとき

$$ t_1=\frac{u}{\omega},\qquad t_2=\frac{2\pi-u}{\omega}\qquad (0<u<\pi) $$

とおくと、

$$ y(t_1)=-r\cos u,\qquad y(t_2)=-r\cos(2\pi-u)=-r\cos u $$

より、常に

$$ y(t_1)=y(t_2) $$

である。

そこで

$$ F(u)=x!\left(\frac{2\pi-u}{\omega}\right)-x!\left(\frac{u}{\omega}\right) $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} F(u) &=\left(c\frac{2\pi-u}{\omega}+r\sin(2\pi-u)\right)-\left(c\frac{u}{\omega}+r\sin u\right)\\ &=\frac{2c}{\omega}(\pi-u)-2r\sin u \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ F(0)=\frac{2\pi c}{\omega}>0,\qquad F(\pi)=0 $$

であり、さらに

$$ F'(u)=-\frac{2c}{\omega}-2r\cos u $$

だから

$$ F'(\pi)=2\left(r-\frac{c}{\omega}\right)>0 $$

となる。よって $u$ を $\pi$ より少し小さく取ると $F(u)<0$ となる。

したがって、連続性より

$$ 0<u_0<\pi $$

で

$$ F(u_0)=0 $$

となるものが存在する。

このとき

$$ x!\left(\frac{u_0}{\omega}\right)=x!\left(\frac{2\pi-u_0}{\omega}\right),\qquad y!\left(\frac{u_0}{\omega}\right)=y!\left(\frac{2\pi-u_0}{\omega}\right) $$

であり、しかも

$$ \frac{u_0}{\omega}\ne \frac{2\pi-u_0}{\omega} $$

だから、曲線は交差する。

よって、曲線が交差しないためには $c<r\omega$ ではだめである。

以上より、曲線が交差しないための必要十分条件は

$$ c\ge r\omega $$

である。

解説

この問題の本質は、点Qの運動を

• 点Pの平行移動 $(ct,0)$
• 点Pのまわりの円運動 $(r\sin \omega t,,-r\cos \omega t)$

の和として表すことである。

（2） では、$x(t)$ の単調性を見るのが最短である。$x(t)$ が狭義単調増加なら、時刻が異なれば $x$ 座標も異なるので、同一点に戻れない。

一方 $c<r\omega$ では、円運動による左向きの成分が点Pの右向き移動より強くなる時間帯があり、軌跡に折り返しが生じる。その結果、同じ高さで二度同じ $x$ 座標をとる点が現れ、自己交差が起こる。

答え

**(1)**

$$ x(t)=ct+r\sin \omega t,\qquad y(t)=-r\cos \omega t $$

**(2)**

曲線が交差しないための必要十分条件は

$$ c\ge r\omega $$

である。