解説

注意

画像では $c$ の対応箇所が本文中で明確に読み取れない。以下では，提示されている不等式

$$ x^f+y^f\leqq 1 $$

の右辺の定数を $c$ とみなせば $c=1$ であるとして解説する。

方針・初手

第1象限で考えると，$P=(t,0)$，$Q=(0,\sqrt{1-t^2})$ とおける。 まず，長さ $PQ=1$ から $Q$ の座標を $t$ で表し，線分 $PQ$ の方程式を求める。 次に，$x$ を固定して $y$ を $t$ の関数とみなし，その最大値を与える $t$ を求めれば，動く範囲の境界が得られる。

解法1

第1象限で考えるので，

$$ P=(t,0),\qquad Q=(0,s)\qquad (t\geqq 0,\ s\geqq 0) $$

とおける。条件 $PQ=1$ より，

$$ t^2+s^2=1 $$

であるから，

$$ s=\sqrt{1-t^2} $$

となる。したがって，

$$ Q=(0,\sqrt{1-t^2}) $$

である。

よって，線分 $PQ$ を含む直線の方程式は切片形より

$$ \frac{x}{t}+\frac{y}{\sqrt{1-t^2}}=1 $$

である。したがって，

$$ a=1,\qquad b=-1 $$

である。

ここで，$x$ を固定して $y$ を $t$ の関数とみると，

$$ y=\sqrt{1-t^2}\left(1-\frac{x}{t}\right) =\frac{(t-x)\sqrt{1-t^2}}{t} \qquad (x\leqq t\leqq 1) $$

となる。

この $y$ を最大にする $t$ を求めるため，対数微分を用いる。$y>0$ の範囲で

$$ \log y=\frac12\log(1-t^2)+\log(t-x)-\log t $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{y}\frac{dy}{dt} &= -\frac{t}{1-t^2}+\frac{1}{t-x}-\frac{1}{t} \end{aligned} $$

である。したがって極値条件 $\dfrac{dy}{dt}=0$ は

$$ -\frac{t}{1-t^2}+\frac{1}{t-x}-\frac{1}{t}=0 $$

すなわち

$$ \frac{1}{t-x}=\frac{1}{t(1-t^2)} $$

となるから，

$$ t(1-t^2)=t-x $$

よって

$$ x=t^3 $$

を得る。したがって，

$$ d=1,\qquad e=3 $$

である。

このとき

$$ y=\sqrt{1-t^2}\left(1-\frac{t^3}{t}\right) =\sqrt{1-t^2}(1-t^2) =(1-t^2)^{3/2} $$

となる。

ここで

$$ x=t^3,\qquad y=(1-t^2)^{3/2} $$

より，

$$ x^{2/3}=t^2,\qquad y^{2/3}=1-t^2 $$

だから，

$$ x^{2/3}+y^{2/3}=1 $$

となる。よって第1象限における線分 $PQ$ の動く範囲は

$$ x^{2/3}+y^{2/3}\leqq 1 $$

で表される。

したがって，

$$ f=\frac23 $$

である。

また，$x$ 軸・$y$ 軸対称を考えると，平面全体では

$$ |x|^{2/3}+|y|^{2/3}\leqq 1 $$

が動く範囲である。

解説

境界は，各 $x$ に対して取りうる $y$ の最大値を結んだ曲線である。 そのため，線分の式を $t$ で表したあと，$x$ を固定して $y$ を最大化するのが本筋である。

得られる境界

$$ x^{2/3}+y^{2/3}=1 $$

はアステロイドと呼ばれる曲線であり，$x$ 軸上・$y$ 軸上を端点とする長さ一定の線分の包絡線として典型的に現れる。

答え

$$ a=1,\qquad b=-1,\qquad c=1,\qquad d=1,\qquad e=3,\qquad f=\frac23 $$

第1象限での動く範囲は

$$ x^{2/3}+y^{2/3}\leqq 1 $$

であり，平面全体では

$$ |x|^{2/3}+|y|^{2/3}\leqq 1 $$

である。