解説

方針・初手

まず微分して増減を調べる。 この関数は

$$ f(x)=\sin x-\frac12\sin2x+\frac13\sin3x $$

であるから，三角関数の加法定理を用いて $f'(x)$ を因数分解すると，符号判定が容易になる。

そのうえで，極値の値を求め，水平線 $y=a$ との共有点の個数は，各単調区間での値域を見れば判定できる。

解法1

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において

$$ f'(x)=\cos x-\cos2x+\cos3x $$

である。

ここで

$$ \cos3x+\cos x=2\cos2x\cos x $$

より，

$$ f'(x)=2\cos2x\cos x-\cos2x=\cos2x(2\cos x-1) $$

となる。

（1） 増減と最大値・最小値

$f'(x)=0$ となるのは

$$ \cos2x=0 \quad \text{または} \quad 2\cos x-1=0 $$

のときであるから，

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3} $$

である。

そこで各区間で $f'(x)$ の符号を調べる。

$\cos2x>0,\ 2\cos x-1>0$ より $f'(x)>0$

• $0\leqq x<\dfrac{\pi}{4}$ では

$\cos2x<0,\ 2\cos x-1>0$ より $f'(x)<0$

• $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{3}$ では

$\cos2x<0,\ 2\cos x-1<0$ より $f'(x)>0$

• $\dfrac{\pi}{3}<x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では

したがって増減は次の通りである。

| $x$ | $0$ | | $\dfrac{\pi}{4}$ | | $\dfrac{\pi}{3}$ | | $\dfrac{\pi}{2}$ | | ------- | --: | :--------: | -------------------------------------------: | :--------: | -------------------------------------------: | :--------: | -------------------------------------------: | | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $0$ | $\nearrow$ | $\displaystyle f!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ | $\searrow$ | $\displaystyle f!\left(\frac{\pi}{3}\right)$ | $\nearrow$ | $\displaystyle f!\left(\frac{\pi}{2}\right)$ |

各値を求めると，

$$ f(0)=0 $$

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) =\sin\frac{\pi}{4}-\frac12\sin\frac{\pi}{2}+\frac13\sin\frac{3\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}-\frac12+\frac{\sqrt2}{6} =\frac{2\sqrt2}{3}-\frac12 $$

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) =\sin\frac{\pi}{3}-\frac12\sin\frac{2\pi}{3}+\frac13\sin\pi =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{4} =\frac{\sqrt3}{4} $$

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\sin\frac{\pi}{2}-\frac12\sin\pi+\frac13\sin\frac{3\pi}{2} =1-\frac13 =\frac23 $$

よって，$f(x)$ は $x=\dfrac{\pi}{4}$ で極大，$x=\dfrac{\pi}{3}$ で極小をとるが，区間全体で見ると

• 最小値は $0$（$x=0$）
• 最大値は $\dfrac23$（$x=\dfrac{\pi}{2}$）

である。

（2） 直線 $y=a$ との共有点の個数

（1） の結果より，$f(x)$ は

• $\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$ で単調増加し，値域は

$$ \left[0,\ \frac{2\sqrt2}{3}-\frac12\right] $$

• $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}\right]$ で単調減少し，値域は

$$ \left[\frac{\sqrt3}{4},\ \frac{2\sqrt2}{3}-\frac12\right] $$

• $\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]$ で単調増加し，値域は

$$ \left[\frac{\sqrt3}{4},\ \frac23\right] $$

となる。

したがって，水平線 $y=a$ との共有点の個数は，$a$ の値に応じて次のようになる。

**(i)**

$a<0$ のとき 共有点は $0$ 個である。

**(ii)**

$a=0$ のとき $x=0$ のみで交わるから，$1$ 個である。

**(iii)**

$0<a<\dfrac{\sqrt3}{4}$ のとき 最初の増加区間でのみ 1 回交わるから，$1$ 個である。

**(iv)**

$a=\dfrac{\sqrt3}{4}$ のとき $\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$ で 1 回，さらに $x=\dfrac{\pi}{3}$ で 1 回交わるから，$2$ 個である。

**(v)**

$\dfrac{\sqrt3}{4}<a<\dfrac{2\sqrt2}{3}-\dfrac12$ のとき 3 つの単調区間それぞれで 1 回ずつ交わるから，$3$ 個である。

**(vi)**

$a=\dfrac{2\sqrt2}{3}-\dfrac12$ のとき $x=\dfrac{\pi}{4}$ で 1 回，さらに $\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right)$ で 1 回交わるから，$2$ 個である。

**(vii)**

$\dfrac{2\sqrt2}{3}-\dfrac12<a<\dfrac23$ のとき 最後の増加区間でのみ 1 回交わるから，$1$ 個である。

**(viii)**

$a=\dfrac23$ のとき $x=\dfrac{\pi}{2}$ のみで交わるから，$1$ 個である。

**(ix)**

$a>\dfrac23$ のとき 共有点は $0$ 個である。

解説

この問題の要点は，微分したあとに

$$ f'(x)=\cos2x(2\cos x-1) $$

と因数分解することである。 これにより，臨界点が $x=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}$ とすぐに分かり，しかも符号判定も単純になる。

（2） はグラフを正確に描けるかどうかが本質である。極大値と極小値だけでなく，端点の値 $f(0)=0,\ f!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac23$ も含めて値の並びを押さえることが重要である。

答え

**(1)**

増減は

$0\leqq x<\dfrac{\pi}{4}$ で増加

$\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{3}$ で減少

$\dfrac{\pi}{3}<x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で増加

である。

また，

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2\sqrt2}{3}-\frac12,\quad f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{4},\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac23 $$

より，

最大値は $\displaystyle \frac23$（$x=\dfrac{\pi}{2}$）

最小値は $\displaystyle 0$（$x=0$）

である。

**(2)**

共有点の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (a<0,\ a>\dfrac23)\\ 1 & (a=0,\ 0<a<\dfrac{\sqrt3}{4},\ \dfrac{2\sqrt2}{3}-\dfrac12<a\leqq\dfrac23)\\ 2 & \left(a=\dfrac{\sqrt3}{4},\ a=\dfrac{2\sqrt2}{3}-\dfrac12\right)\\ 3 & \left(\dfrac{\sqrt3}{4}<a<\dfrac{2\sqrt2}{3}-\dfrac12\right) \end{cases} $$

である。