解説

方針・初手

$\cos 4\theta$ を $\sin^2\theta$ で表すと，$f(\theta)$ は $\sin^2\theta$ の2次式になる。

区間 $0\leqq \theta \leqq \dfrac{3\pi}{4}$ では $\sin^2\theta$ は $0$ から $1$ までの値をとるので，2次関数の最大・最小の問題に帰着できる。

解法1

$\sin^2\theta=t$ とおくと，$0\leqq t\leqq 1$ である。

また，

$$ \cos 4\theta=1-8\sin^2\theta\cos^2\theta =1-8t(1-t)=1-8t+8t^2 $$

であるから，

$$ f(\theta)=\cos 4\theta-4\sin^2\theta =(1-8t+8t^2)-4t =8t^2-12t+1 $$

となる。

これを平方完成すると，

$$ f(\theta)=8\left(t-\frac34\right)^2-\frac72 $$

である。

したがって，$0\leqq t\leqq 1$ において

$$ f(\theta)\geqq -\frac72 $$

であり，最小値は

$$ -\frac72 $$

である。

このとき

$$ t=\frac34 $$

すなわち

$$ \sin^2\theta=\frac34 $$

であるから，

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2} $$

となり，区間 $0\leqq \theta\leqq \dfrac{3\pi}{4}$ では

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3} $$

で最小値をとる。

次に最大値を調べる。$f(\theta)$ は上に開く2次関数なので，区間 $0\leqq t\leqq 1$ での最大値は端点で生じる。

$$ f(0)=1,\qquad f(1)=8-12+1=-3 $$

より，最大値は

$$ 1 $$

である。

$t=0$ は $\sin^2\theta=0$ を意味するから，この区間では

$$ \theta=0 $$

で最大値をとる。

解法2

$\cos 4\theta=2\cos^2 2\theta-1$，また $4\sin^2\theta=2-2\cos 2\theta$ より，

$$ f(\theta)=\cos 4\theta-4\sin^2\theta =(2\cos^2 2\theta-1)-(2-2\cos 2\theta) $$

したがって，

$$ f(\theta)=2\cos^2 2\theta+2\cos 2\theta-3 $$

となる。

ここで $x=\cos 2\theta$ とおくと，$0\leqq \theta\leqq \dfrac{3\pi}{4}$ から

$$ 0\leqq 2\theta\leqq \frac{3\pi}{2} $$

であり，この範囲で $\cos 2\theta$ は $-1\leqq x\leqq 1$ のすべての値をとる。

よって，

$$ f(\theta)=2x^2+2x-3 =2\left(x+\frac12\right)^2-\frac72 $$

であるから，最小値は

$$ -\frac72 $$

であり，これは $x=-\dfrac12$ のときに達する。

すなわち

$$ \cos 2\theta=-\frac12 $$

より，

$$ 2\theta=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $$

したがって，

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3} $$

で最小値をとる。

また最大値は端点で比較すればよく，

$$ f(1)=1,\qquad f(-1)=-3 $$

より最大値は $1$ である。

$x=1$ は $\cos 2\theta=1$ を意味するから，

$$ \theta=0 $$

で最大値をとる。

解説

この問題の要点は，三角関数のまま扱わず，$\sin^2\theta$ または $\cos 2\theta$ による2次関数へ変形することである。

区間が $0\leqq \theta\leqq \dfrac{3\pi}{4}$ なので，$\sin^2\theta$ は $[0,1]$ をすべて動き，$\cos 2\theta$ も $[-1,1]$ をすべて動く。この値域確認を落とさないことが重要である。

答え

最大値は

$$ 1 $$

であり，$\theta=0$ のときにとる。

最小値は

$$ -\frac72 $$

であり，$\theta=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}$ のときにとる。