解説

方針・初手

点 $P,Q$ の距離そのものを直接扱うより、距離の二乗を考えると計算しやすい。距離は常に非負であるから、距離が最大・最小になる時刻は、距離の二乗が最大・最小になる時刻と一致する。

解法1

時刻 $t$ における

$$ P(\sqrt{2}\cos t,\ \sin t),\qquad Q(\sin t,\ \sqrt{2}) $$

より、$P,Q$ 間の距離を $d$ とすると、

$$ d^2=(\sqrt{2}\cos t-\sin t)^2+(\sin t-\sqrt{2})^2 $$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} d^2 &=2\cos^2 t-2\sqrt{2}\sin t\cos t+\sin^2 t+\sin^2 t-2\sqrt{2}\sin t+2 \\ &=2(\cos^2 t+\sin^2 t)+2-2\sqrt{2}\sin t(\cos t+1) \\ &=4-2\sqrt{2}\sin t(1+\cos t) \end{aligned} $$

となる。したがって、$d^2$ の最大・最小は

$$ f(t)=\sin t(1+\cos t) $$

の最小・最大を調べればよい。

$f(t)$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(t) &=\cos t(1+\cos t)-\sin^2 t \\ &=\cos t+\cos^2 t-\sin^2 t \\ &=\cos t+\cos 2t \\ &=2\cos^2 t+\cos t-1 \\ &=(2\cos t-1)(\cos t+1) \end{aligned} $$

となる。

よって、$0\le t\le 2\pi$ において

$$ f'(t)=0 $$

となるのは

$$ \cos t=\frac12 \quad \text{または} \quad \cos t=-1 $$

すなわち

$$ t=\frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3} $$

である。あわせて区間の端 $t=0,2\pi$ も調べる。

それぞれでの $f(t)$ の値は

$$ f!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1+\frac12\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}, $$

$$ f(\pi)=0, $$

$$ f!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1+\frac12\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{4}, $$

$$ f(0)=f(2\pi)=0 $$

である。

したがって、$f(t)$ は

• $t=\dfrac{\pi}{3}$ で最大
• $t=\dfrac{5\pi}{3}$ で最小

となる。

ここで

$$ d^2=4-2\sqrt{2}f(t) $$

であったから、$d^2$ は

• $t=\dfrac{\pi}{3}$ で最小
• $t=\dfrac{5\pi}{3}$ で最大

となる。よって距離 $d$ も同じ時刻で最小・最大となる。

解説

距離の最大・最小を求める問題では、まず距離の二乗に直すのが基本である。平方根を避けることで、三角関数の式を整理しやすくなる。

この問題では

$$ d^2=4-2\sqrt{2}\sin t(1+\cos t) $$

と変形できることが重要である。以後は三角関数 $f(t)=\sin t(1+\cos t)$ の最大・最小に帰着され、微分による処理が素直に使える。

答え

距離 $PQ$ が

最大となる時刻は

$$ t=\frac{5\pi}{3} $$

最小となる時刻は

$$ t=\frac{\pi}{3} $$

である。

なお、そのときの距離の二乗はそれぞれ

$$ \max d^2=4+\frac{3\sqrt{6}}{2},\qquad \min d^2=4-\frac{3\sqrt{6}}{2} $$

である。