解説

方針・初手

$BC=1$、$\angle A=90^\circ$、$\angle B=\theta$ であるから、

$$ AB=\cos\theta,\qquad AC=\sin\theta $$

である。

$S_1(\theta),S_2(\theta)$ は、それぞれ「小さい半円の面積」から「半円 $H_0$ の対応する弓形の面積」を引けば求められる。したがって、まず $H_0$ における弧 $BA,AC$ の中心角を求める。

解法1

半円 $H_0$ の半径は $\dfrac12$ である。

弧 $BA$ に対する円周角は $\angle BCA=\dfrac{\pi}{2}-\theta$ だから、対応する中心角は

$$ \pi-2\theta $$

である。

同様に、弧 $AC$ に対する円周角は $\angle ABC=\theta$ だから、対応する中心角は

$$ 2\theta $$

である。

**(i)**

$S_1(\theta)$ を求める。

半円 $H_1$ の直径は $AB=\cos\theta$ であるから、

$$ \text{$H_1$ の面積}=\frac{\pi}{8}\cos^2\theta $$

である。

一方、$H_0$ において弦 $BA$ に対する弓形の面積は、

$$ \text{扇形}BOA-\triangle BOA $$

である。ここで $O$ を $H_0$ の中心とすると、

$$ \text{扇形}BOA=\frac12\left(\frac12\right)^2(\pi-2\theta)=\frac{\pi-2\theta}{8} $$

また、

$$ \triangle BOA=\frac12\left(\frac12\right)^2\sin(\pi-2\theta)=\frac{\sin2\theta}{8} $$

だから、弓形の面積は

$$ \frac{\pi-2\theta-\sin2\theta}{8} $$

となる。よって、

$$ S_1(\theta)=\frac{\pi}{8}\cos^2\theta-\frac{\pi-2\theta-\sin2\theta}{8} $$

すなわち

$$ S_1(\theta)=\frac{\pi}{16}\cos2\theta+\frac{\theta}{4}+\frac18\sin2\theta-\frac{\pi}{16} $$

である。

**(ii)**

$S_2(\theta)$ を求める。

半円 $H_2$ の直径は $AC=\sin\theta$ であるから、

$$ \text{$H_2$ の面積}=\frac{\pi}{8}\sin^2\theta $$

である。

また、$H_0$ において弦 $AC$ に対する弓形の面積は、中心角が $2\theta$ であるから

$$ \frac{2\theta-\sin2\theta}{8} $$

となる。よって、

$$ S_2(\theta)=\frac{\pi}{8}\sin^2\theta-\frac{2\theta-\sin2\theta}{8} $$

すなわち

$$ S_2(\theta)=-\frac{\pi}{16}\cos2\theta-\frac{\theta}{4}+\frac18\sin2\theta+\frac{\pi}{16} $$

である。

したがって、

$$ S(\theta)=S_1(\theta)+S_2(\theta)=\frac14\sin2\theta $$

であり、

$$ T(\theta)=S_1(\theta)-S_2(\theta)=\frac{\pi}{8}\cos2\theta+\frac12\theta-\frac{\pi}{8} $$

となる。

よって、

$$ [ア]=\frac14,\qquad [イ]=\frac{\pi}{8},\qquad [ウ]=\frac12,\qquad [エ]=-\frac{\pi}{8} $$

である。

次に、$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で $S(\theta)=\dfrac{\sqrt2}{6}$ のときを考える。

$$ \frac14\sin2\theta=\frac{\sqrt2}{6} $$

より、

$$ \sin2\theta=\frac{2\sqrt2}{3} $$

である。ここで $\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{\pi}{2}<2\theta<\pi$ だから $\cos2\theta<0$ である。したがって、

$$ \cos2\theta=-\sqrt{1-\sin^22\theta} =-\sqrt{1-\frac89} =-\frac13 $$

となる。ゆえに、

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2} =\frac{1+\frac13}{2} =\frac23 $$

であり、$\theta$ は鋭角だから

$$ \sin\theta=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3} $$

となる。よって、

$$ [オ]=\frac{\sqrt6}{3} $$

である。

最後に、$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で $T(\theta)$ が最大となる $\theta=\theta_0$ を求める。

$$ T'(\theta)=-\frac{\pi}{4}\sin2\theta+\frac12 $$

であるから、極値の条件は

$$ -\frac{\pi}{4}\sin2\theta+\frac12=0 $$

すなわち

$$ \sin2\theta=\frac{2}{\pi} $$

である。

この条件を満たす $\theta$ は区間 $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ に 2 つあるが、

$$ T''(\theta)=-\frac{\pi}{2}\cos2\theta $$

であるから、最大値を与えるのは $\cos2\theta>0$、すなわち $0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$ にある方である。したがって、

$$ \cos2\theta_0=\sqrt{1-\sin^22\theta_0} =\sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}} =\frac{\sqrt{\pi^2-4}}{\pi} $$

となる。よって、

$$ [カ]=\frac{\sqrt{\pi^2-4}}{\pi} $$

である。

解説

この問題の要点は、$S_1,S_2$ をそれぞれ「小半円の面積 $-$ 大半円の弓形の面積」として処理することである。

また、$S(\theta)=S_1+S_2$ を計算すると $\pi$ を含む項が消えて

$$ S(\theta)=\frac14\sin2\theta $$

となる。これはヒッポクラテスの三日月形の性質と同じ構造であり、和が直角三角形の面積に一致している。

一方、$T(\theta)=S_1-S_2$ では $\cos2\theta$ と $\theta$ の項が残るので、最大値は微分で処理するのが自然である。

答え

$$ [ア]=\frac14,\qquad [イ]=\frac{\pi}{8},\qquad [ウ]=\frac12,\qquad [エ]=-\frac{\pi}{8},\qquad [オ]=\frac{\sqrt6}{3},\qquad [カ]=\frac{\sqrt{\pi^2-4}}{\pi} $$