解説

方針・初手

台形の下底は半円の直径で長さが $2a$ である。上底の両端を半円周上の点とし，その右端を $P$，半円の中心を $O$，直径の右端を $B$ とすると，図の $\theta$ は $\angle BOP$ である。

したがって，点 $P$ の座標的な位置は 「横方向が $a\cos\theta$，縦方向が $a\sin\theta$」 で表せる。これにより，上底の長さと台形の高さを $\theta$ で表し，面積を最大にする。

解法1

半円の中心を原点とし，直径を $x$ 軸上にとる。

右上の頂点を $P$ とすると，

$$ OP=a,\quad \angle BOP=\theta $$

より，$P$ の座標は

$$ (a\cos\theta,\ a\sin\theta) $$

である。左右対称だから，左上の頂点は

$$ (-a\cos\theta,\ a\sin\theta) $$

となる。

よって，上底の長さは

$$ 2a\cos\theta $$

高さは

$$ a\sin\theta $$

である。また，下底は直径なので

$$ 2a $$

である。

したがって，台形の面積を $S$ とすると，

$$ S=\frac{2a+2a\cos\theta}{2}\cdot a\sin\theta =a^2(1+\cos\theta)\sin\theta $$

となる。

これを $\theta$ で微分する。

$$ S'(\theta) =a^2\left\{-(\sin\theta)\sin\theta+(1+\cos\theta)\cos\theta\right\} $$

整理すると，

$$ S'(\theta) =a^2\left(\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta\right) =a^2(\cos\theta+\cos2\theta) $$

したがって，極値の条件 $S'(\theta)=0$ より

$$ \cos\theta+\cos2\theta=0 $$

$$ \cos\theta+(2\cos^2\theta-1)=0 $$

$$ 2\cos^2\theta+\cos\theta-1=0 $$

$$ (2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)=0 $$

ここで，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ だから $0<\cos\theta<1$ であり，

$$ \cos\theta=\frac12 $$

である。よって，

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

を得る。

さらに，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ において $\cos\theta$ は単調減少であるから，

• $0<\theta<\dfrac{\pi}{3}$ では $\cos\theta>\dfrac12$ となり $S'(\theta)>0$
• $\dfrac{\pi}{3}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos\theta<\dfrac12$ となり $S'(\theta)<0$

である。したがって，$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき面積は最大である。

解説

この問題では，図形の面積を直接考えるよりも，まず上底の長さと高さを $\theta$ で表すのが基本方針である。

半円上の点の位置は 横成分 $a\cos\theta$，縦成分 $a\sin\theta$ で表せるので，上底 $2a\cos\theta$，高さ $a\sin\theta$ が自然に出る。あとは台形の面積公式に代入して，1変数関数の最大値問題に直せばよい。

答え

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$