解説

方針・初手

求める領域は，$0 \le x \le a$ の範囲で，2つの放物線 $y=ax^2$ と $y=\dfrac{1}{a^5}(x-a)^2$ のうち，低い方のグラフの下側である。

したがって，まず両曲線の交点の $x$ 座標を求め，その点で積分区間を分けて面積を求める。その後，得られた $S$ を $a$ で微分して最大値を調べればよい。

解法1

2曲線の交点の $x$ 座標を $x=t$ とすると，

$$ at^2=\frac{1}{a^5}(t-a)^2 $$

である。これを整理すると，

$$ a^6t^2=(t-a)^2=(a-t)^2 $$

となる。

ここで $0 \le t \le a$ であるから $a-t \ge 0$ であり，

$$ a^3t=a-t $$

が成り立つ。よって，

$$ t=\frac{a}{a^3+1} $$

である。

$x=0$ では $ax^2=0$ の方が小さく，$x=a$ では $\dfrac{1}{a^5}(x-a)^2=0$ の方が小さい。したがって，求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{\frac{a}{a^3+1}} ax^2,dx+\int_{\frac{a}{a^3+1}}^a \frac{1}{a^5}(x-a)^2,dx $$

となる。

第1項は

$$ \int_0^{\frac{a}{a^3+1}} ax^2,dx =a\cdot \frac{1}{3}\left(\frac{a}{a^3+1}\right)^3 =\frac{a^4}{3(a^3+1)^3} $$

である。

第2項は

$$ \int_{\frac{a}{a^3+1}}^a \frac{1}{a^5}(x-a)^2,dx =\frac{1}{a^5}\cdot \frac{1}{3}\left(a-\frac{a}{a^3+1}\right)^3 $$

であり，

$$ a-\frac{a}{a^3+1} =\frac{a(a^3+1)-a}{a^3+1} =\frac{a^4}{a^3+1} $$

だから，

$$ \int_{\frac{a}{a^3+1}}^a \frac{1}{a^5}(x-a)^2,dx =\frac{1}{a^5}\cdot \frac{1}{3}\left(\frac{a^4}{a^3+1}\right)^3 =\frac{a^7}{3(a^3+1)^3} $$

となる。

よって，

$$ S=\frac{a^4}{3(a^3+1)^3}+\frac{a^7}{3(a^3+1)^3} =\frac{a^4(a^3+1)}{3(a^3+1)^3} =\frac{a^4}{3(a^3+1)^2} $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に，この $S$ の最大値を求める。

$$ S=\frac{1}{3}a^4(a^3+1)^{-2} $$

とおいて微分すると，

$$ \begin{aligned} S' &=\frac{1}{3}\left\{4a^3(a^3+1)^{-2}-2a^4(a^3+1)^{-3}\cdot 3a^2\right\} \\ &=\frac{a^3}{3(a^3+1)^3}\left\{4(a^3+1)-6a^3\right\} \\ &=\frac{2a^3(2-a^3)}{3(a^3+1)^3} \end{aligned} $$

となる。

$a>0$ より，$S'=0$ は

$$ a^3=2 $$

すなわち，

$$ a=\sqrt[3]{2} $$

のときである。

また，

• $0<a<\sqrt[3]{2}$ では $S'>0$
• $a>\sqrt[3]{2}$ では $S'<0$

であるから，$a=\sqrt[3]{2}$ のとき $S$ は最大となる。

その最大値は，

$$ S=\frac{a^4}{3(a^3+1)^2} $$

に $a^3=2$ を代入して，

$$ S_{\max} =\frac{2^{4/3}}{3\cdot 3^2} =\frac{2^{4/3}}{27} =\frac{2\sqrt[3]{2}}{27} $$

である。

解説

この問題では，領域が2つの放物線の共通部分として与えられているため，面積を求めるには「どちらの曲線が上側境界になるか」を判定することが本質である。そのため，最初に交点を求めるのが自然な方針である。

交点で区間を分けて面積を積分で表せば，$S$ は

$$ S=\frac{a^4}{3(a^3+1)^2} $$

と簡潔な式に整理できる。あとはこの式を微分すれば最大値も素直に求まる。面積の最大化であっても，図形的な直感だけで進めず，交点の確認と区間分割を丁寧に行うことが重要である。

答え

**(1)**

$$ S=\frac{a^4}{3(a^3+1)^2} $$

**(2)**

$$ S_{\max}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{27} $$

であり，そのとき

$$ a=\sqrt[3]{2} $$

である。