解説

方針・初手

左辺を

$$ f(x)=(x+4)e^{-x/2} $$

とおき，$y=f(x)$ の増減と値の範囲を調べれば，方程式

$$ (x+4)e^{-x/2}=a $$

の解の個数は，直線 $y=a$ との共有点の個数として判定できる。

解法1

$f(x)=(x+4)e^{-x/2}$ とおく。

まず微分すると，

$$ f'(x)=e^{-x/2}+(x+4)\left(-\frac12\right)e^{-x/2} =e^{-x/2}\left(1-\frac{x+4}{2}\right) =-\frac{x+2}{2}e^{-x/2} $$

である。

ここで $e^{-x/2}>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は $-(x+2)$ の符号で決まる。したがって，

**(i)**

$x<-2$ のとき $f'(x)>0$

**(ii)**

$x=-2$ のとき $f'(x)=0$

**(iii)**

$x>-2$ のとき $f'(x)<0$

であり，$f(x)$ は $x=-2$ で最大値をとる。

その最大値は

$$ f(-2)=(-2+4)e^{-(-2)/2}=2e $$

である。

次に，端での様子を調べる。

$x\to +\infty$ のとき，$t=\dfrac{x}{2}$ とおくと $t\to +\infty$ であり，

$$ (x+4)e^{-x/2} =(2t+4)e^{-t} =2te^{-t}+4e^{-t} $$

となる。条件 $\lim_{t\to+\infty}te^{-t}=0$ より，$e^{-t}\to 0$ でもあるから，

$$ \lim_{x\to+\infty}(x+4)e^{-x/2}=0 $$

である。

また，$x\to-\infty$ のとき $e^{-x/2}\to+\infty$ かつ $x+4\to-\infty$ であるから，

$$ \lim_{x\to-\infty}(x+4)e^{-x/2}=-\infty $$

となる。

さらに，

$$ f(-4)=(-4+4)e^{-(-4)/2}=0 $$

である。

以上より，$f(x)$ の概形は次のようになる。

• $x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$
• $x=-4$ で $f(x)=0$
• $x=-2$ で最大値 $2e$
• $x\to+\infty$ で $f(x)\to0$

したがって，方程式 $f(x)=a$ の解の個数は $a$ の値によって次のように定まる。

**(i)**

$a<0$ のとき 負の値をとるのは $x<-4$ の部分だけであり，そこで $f(x)$ は単調増加だから，解は $1$ 個。

**(ii)**

$a=0$ のとき $f(x)=0$ となるのは $x=-4$ のみなので，解は $1$ 個。

**(iii)**

$0<a<2e$ のとき 最大値 $2e$ より小さい正の値なので，$x=-2$ の左右でそれぞれ $1$ 個ずつ，解は $2$ 個。

**(iv)**

$a=2e$ のとき 最大値に対応するので，$x=-2$ のみで解は $1$ 個。

**(v)**

$a>2e$ のとき 最大値を超えるので，解は $0$ 個。

解説

この問題の要点は，方程式を直接解こうとするのではなく，関数

$$ f(x)=(x+4)e^{-x/2} $$

のグラフを考えることである。

指数関数が掛かっているため代数的に $x$ を解くのは難しいが，微分すれば増減は簡単に分かる。また，$x\to+\infty$ での極限に与えられた

$$ \lim_{t\to+\infty}te^{-t}=0 $$

を用いることで，右端で $0$ に近づくこともきちんと示せる。最大値 $2e$ と，$x=-4$ で $0$ になることを押さえれば，解の個数は直線 $y=a$ との交点の個数として整理できる。

答え

$$ \begin{cases} a<0 \text{ のとき} & 1\text{個},\\ a=0 \text{ のとき} & 1\text{個},\\ 0<a<2e \text{ のとき} & 2\text{個},\\ a=2e \text{ のとき} & 1\text{個},\\ a>2e \text{ のとき} & 0\text{個}. \end{cases} $$