解説

方針・初手

最大値が $1$ であることは、すべての $x$ に対して

$$ \frac{ax+b}{x^2+x+1} \le 1 $$

が成り立ち、しかも $x=2$ で等号が成り立つことを意味する。

ここで $x^2+x+1$ は常に正であるから、分母を払って二次式の条件に言い換えるのが最も自然である。

解法1

$f(x)$ を

$$ f(x)=\frac{ax+b}{x^2+x+1} $$

とおく。

$x^2+x+1$ については

$$ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0 $$

であるから、$f(x)\le 1$ は

$$ ax+b \le x^2+x+1 $$

と同値である。

したがって

$$ x^2+x+1-(ax+b)\ge 0 $$

がすべての $x$ に対して成り立ち、さらに $x=2$ で最大値 $1$ をとるので、このとき等号が成り立つ。よって

$$ x^2+x+1-(ax+b) $$

は $x=2$ を解にもつ。

しかもこの式は $x$ の二次式であり、係数が正の $x^2$ をもつので、すべての $x$ で $0$ 以上となるためには、$x=2$ は重解でなければならない。したがって

$$ x^2+x+1-(ax+b)=(x-2)^2 $$

とおける。

両辺を展開して係数を比較すると、

$$ x^2+(1-a)x+(1-b)=x^2-4x+4 $$

より

$$ 1-a=-4,\qquad 1-b=4 $$

であるから、

$$ a=5,\qquad b=-3 $$

を得る。

実際、このとき

$$ \frac{ax+b}{x^2+x+1} =\frac{5x-3}{x^2+x+1} =1-\frac{(x-2)^2}{x^2+x+1} $$

となる。分母は常に正だから

$$ \frac{5x-3}{x^2+x+1}\le 1 $$

であり、$x=2$ のときに限って等号が成り立つ。よって確かに $x=2$ で最大値 $1$ をとる。

解説

この問題の要点は、「最大値が $1$」を微分で処理するよりも、まず

$$ \frac{ax+b}{x^2+x+1}\le 1 $$

という不等式に直すことである。

分母 $x^2+x+1$ が常に正なので、問題は「ある二次式が常に $0$ 以上で、しかも $x=2$ で $0$ になる」という条件に帰着する。このとき、その二次式は $x=2$ を重解にもつので $(x-2)^2$ に一致する。この見方が最短である。

答え

$$ a=5,\qquad b=-3 $$