解説

方針・初手

条件 $x^p+y^q=1$ のもとで $xy$ を最大にする問題である。

$xy$ を直接扱うより，$x^p+y^q=1$ という形を生かして，重み付き相加相乗平均を用いて $xy$ の上界を出すのが自然である。等号条件まで調べれば最大値が確定する。

解法1

重み $\dfrac{q}{p+q},\ \dfrac{p}{p+q}$ はともに正で，和は $1$ である。

そこで，重み付き相加相乗平均より

$$ \frac{q}{p+q}\cdot \frac{p+q}{q}x^p+\frac{p}{p+q}\cdot \frac{p+q}{p}y^q \ge \left(\frac{p+q}{q}x^p\right)^{\frac{q}{p+q}} \left(\frac{p+q}{p}y^q\right)^{\frac{p}{p+q}} $$

が成り立つ。

左辺は

$$ x^p+y^q=1 $$

より $1$ であるから，

$$ 1\ge \left(\frac{p+q}{q}\right)^{\frac{q}{p+q}} \left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p}{p+q}} (xy)^{\frac{pq}{p+q}} $$

となる。したがって

$$ (xy)^{\frac{pq}{p+q}} \le \frac{p^{\frac{p}{p+q}}q^{\frac{q}{p+q}}}{p+q} $$

であり，両辺を $\dfrac{p+q}{pq}$ 乗すると

$$ xy\le \frac{p^{1/q}q^{1/p}}{(p+q)^{1/p+1/q}} $$

を得る。

次に等号成立条件を調べる。重み付き相加相乗平均の等号条件より

$$ \frac{p+q}{q}x^p=\frac{p+q}{p}y^q $$

すなわち

$$ px^p=qy^q $$

である。これを

$$ x^p+y^q=1 $$

と連立すると，

$$ x^p=\frac{q}{p+q},\qquad y^q=\frac{p}{p+q} $$

となる。よって

$$ x=\left(\frac{q}{p+q}\right)^{1/p},\qquad y=\left(\frac{p}{p+q}\right)^{1/q} $$

のとき等号が成立する。

したがって，$z=xy$ の最大値は

$$ \frac{p^{1/q}q^{1/p}}{(p+q)^{1/p+1/q}} $$

である。

解法2

$u=x^p,\ v=y^q$ とおくと，$u>0,\ v>0$ かつ

$$ u+v=1 $$

である。また

$$ x=u^{1/p},\qquad y=v^{1/q} $$

より

$$ z=xy=u^{1/p}v^{1/q} $$

となる。ここで $v=1-u$ として

$$ z(u)=u^{1/p}(1-u)^{1/q}\qquad (0<u<1) $$

とみる。

対数をとると

$$ \log z(u)=\frac{1}{p}\log u+\frac{1}{q}\log(1-u) $$

であるから，微分して

$$ \begin{aligned} \frac{z'(u)}{z(u)} &= \frac{1}{pu}-\frac{1}{q(1-u)} \end{aligned} $$

を得る。したがって極値条件 $z'(u)=0$ は

$$ \frac{1}{pu}=\frac{1}{q(1-u)} $$

すなわち

$$ q(1-u)=pu $$

であり，

$$ u=\frac{q}{p+q} $$

となる。このとき

$$ v=1-u=\frac{p}{p+q} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} z_{\max} &= \left(\frac{q}{p+q}\right)^{1/p} \left(\frac{p}{p+q}\right)^{1/q} &= \frac{p^{1/q}q^{1/p}}{(p+q)^{1/p+1/q}} \end{aligned} $$

となる。

解説

本問の要点は，制約式 $x^p+y^q=1$ をそのまま活用することである。

解法1は重み付き相加相乗平均を使う典型手法であり，最も見通しがよい。等号条件からそのまま最大となる $x,y$ まで決まる。

解法2は $x^p,\ y^q$ を新しい変数に置き換えて1変数関数の最大値問題に直す方法である。微分で処理したい場合はこちらが標準的である。

答え

$z=xy$ の最大値は

$$ \frac{p^{1/q}q^{1/p}}{(p+q)^{1/p+1/q}} $$

である。

この最大値は

$$ x=\left(\frac{q}{p+q}\right)^{1/p},\qquad y=\left(\frac{p}{p+q}\right)^{1/q} $$

のときに達成される。