解説

方針・初手

直線 $l$ の傾きが $1$ で一定なので、$l$ 上の2点間の距離は $x$ 座標の差で表しやすい。そこで、円上の点を $P=(a,b)$ とおき、直線 $l$ と双曲線 $xy=4$ との交点 $Q_1,Q_2$ の $x$ 座標をそれぞれ $u_1,u_2$ とする。

すると、$PQ_1\cdot PQ_2$ は $(u_1-a)(u_2-a)$ で表せる。これは交点を与える2次方程式の解と係数の関係で簡潔に処理できる。その後は、円周上での $ab$ の最大値を求めればよい。

解法1

円周上の点 $P$ を

$$ P=(a,b) $$

とおく。ただし

$$ (a-1)^2+b^2=1 $$

を満たす。

点 $P$ を通り、傾きが $1$ の直線 $l$ は

$$ y-b=x-a $$

すなわち

$$ y=x+(b-a) $$

である。

この直線と双曲線 $xy=4$ との交点を $Q_1,Q_2$ とし、それぞれの $x$ 座標を $u_1,u_2$ とする。すると交点は

$$ Q_i=(u_i,\ u_i+b-a)\qquad (i=1,2) $$

であり、$u_1,u_2$ は

$$ u(u+b-a)=4 $$

すなわち

$$ u^2+(b-a)u-4=0 $$

の2解である。

ここで、直線 $l$ は傾き $1$ なので、$l$ 上の2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ の距離は

$$ \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} =\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1-x_2)^2} =\sqrt{2},|x_1-x_2| $$

となる。よって

$$ PQ_i=\sqrt{2},|u_i-a| $$

であるから、

$$ PQ_1\cdot PQ_2 =2,|(u_1-a)(u_2-a)| $$

となる。

ここで、$u_1,u_2$ は $f(u)=u^2+(b-a)u-4$ の2解であるから、

$$ (u_1-a)(u_2-a)=f(a) $$

である。したがって

$$ (u_1-a)(u_2-a) =a^2+(b-a)a-4 =ab-4 $$

となり、

$$ PQ_1\cdot PQ_2=2|ab-4| $$

を得る。

次に、円周上での $ab$ の最大値を求める。円の式より

$$ (a-1)^2+b^2=1 $$

だから

$$ b^2=1-(a-1)^2=2a-a^2 $$

である。$PQ_1\cdot PQ_2$ を最小にするには $ab$ を最大にすればよいので、$b\geqq 0$ の場合を考えればよい。すると

$$ ab=a\sqrt{2a-a^2}\qquad (0\leqq a\leqq 2) $$

である。これを最大化するため、2乗して

$$ (ab)^2=a^2(2a-a^2)=2a^3-a^4 $$

を考える。右辺を

$$ g(a)=2a^3-a^4 $$

とおくと、

$$ g'(a)=6a^2-4a^3=2a^2(3-2a) $$

より、$0\leqq a\leqq 2$ において最大となるのは

$$ a=\frac{3}{2} $$

のときである。

このとき

$$ b=\sqrt{2\cdot \frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2} =\sqrt{3-\frac{9}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{2} $$

なので、

$$ ab=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{3\sqrt{3}}{4} $$

である。

したがって

$$ PQ_1\cdot PQ_2 =2\left(4-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right) =8-\frac{3\sqrt{3}}{2} $$

となる。よって最小値は

$$ 8-\frac{3\sqrt{3}}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、交点 $Q_1,Q_2$ を直接求めきることではなく、交点の $x$ 座標を2次方程式の解とみて、解と係数の関係を使うことである。

また、直線の傾きが $1$ で固定されているため、距離が $x$ 座標の差で処理できるのも重要である。これにより、幾何の問題が最終的に円周上での $ab$ の最大値を求める問題に落ちる。

答え

$$ PQ_1\cdot PQ_2 \text{ の最小値は } 8-\frac{3\sqrt{3}}{2} $$