解説

方針・初手

$f''(x)<0$ であるから、$x>0$ では $f'(x)$ は単調減少である。したがって $f'(0)=\dfrac12$ を起点として、$f'(x)$ の大きさが強く制限される。

これを用いると、$f(x)$ の増減と、接線

$$ y=1+\frac12x $$

との位置関係が分かる。(2) では $f(x)-x$ を考えるのが自然である。

解法1

（1） $x>0$ において $1<f(x)<1+\dfrac12x$ を示す

まず、$x>0$ において $f'(x)>0$ であるから、$f(x)$ は $x>0$ で単調増加である。しかも $f(0)=1$ なので、$x>0$ に対して

$$ f(x)>f(0)=1 $$

が成り立つ。

次に上側の不等式を示す。$f''(x)<0$ より、$f'(x)$ は $x>0$ で単調減少である。したがって $x>0$ では

$$ f'(x)<f'(0)=\frac12 $$

となる。

ここで平均値の定理を区間 $[0,x]$ に適用すると、ある $\xi\in(0,x)$ が存在して

$$ f(x)-f(0)=f'(\xi)x $$

と書ける。よって

$$ f(x)-1=f'(\xi)x<\frac12x $$

であり、

$$ f(x)<1+\frac12x $$

を得る。

以上より、$x>0$ において

$$ 1<f(x)<1+\frac12x $$

が成り立つ。

（2） 方程式 $f(x)=x$ は区間 $1<x<2$ においてただ1つの解をもつことを示す

$g(x)=f(x)-x$ とおく。

まず解の存在を示す。(1) より $x=1$ では

$$ f(1)>1 $$

であるから

$$ g(1)=f(1)-1>0 $$

となる。

また $x=2$ では、(1) より

$$ f(2)<1+\frac12\cdot2=2 $$

であるから

$$ g(2)=f(2)-2<0 $$

となる。

$f$ は微分可能であるから連続であり、したがって $g$ も連続である。よって中間値の定理により、区間 $(1,2)$ に少なくとも1つ $g(x)=0$、すなわち

$$ f(x)=x $$

を満たす解が存在する。

次に一意性を示す。$g'(x)=f'(x)-1$ である。ここで $f''(x)<0$ より $f'(x)$ は $x>0$ で単調減少し、$f'(0)=\dfrac12$ だから、$x>0$ では

$$ f'(x)<\frac12 $$

である。したがって

$$ g'(x)=f'(x)-1<\frac12-1=-\frac12<0 $$

となる。ゆえに $g(x)$ は $x>0$ で単調減少である。したがって $g(x)=0$ を満たす $x$ は高々1つしかない。

以上より、方程式 $f(x)=x$ は区間 $1<x<2$ においてただ1つの解をもつ。

解説

この問題の要点は、$f''(x)<0$ から $f'(x)$ が単調減少であることを読み取る点にある。

（1） では、$f'(x)>0$ から $f(x)>1$ が分かり、さらに $f'(x)<f'(0)=\dfrac12$ を平均値の定理に入れることで

$$ f(x)<1+\frac12x $$

が得られる。これは「下に凸ではなく上に凸」であるため、グラフが $x=0$ における接線より下にあることに対応している。

（2） では $f(x)=x$ をそのまま見るよりも、$g(x)=f(x)-x$ として符号変化と単調性を見るのが定石である。存在は $g(1)>0,\ g(2)<0$、一意性は $g'(x)<0$ で処理できる。

答え

**(1)**

$x>0$ において

$$ 1<f(x)<1+\frac12x $$

が成り立つ。

**(2)**

方程式 $f(x)=x$ は区間 $1<x<2$ にただ1つの解をもつ。