解説

方針・初手

（1） は導関数の符号を調べればよい。ただし、$\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ の符号判定でそのまま詰まりやすいので、分子を別の関数として扱うのが自然である。

（2） は直接微分すると、（1） の $\dfrac{\sin t}{t}$ の単調減少をそのまま使える形に整理できる。したがって、まず （1） を確実に示し、その結果を （2） に代入する流れで解く。

解法1

**(1)**

$$ g(x)=\frac{\sin x}{x}\qquad \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right) $$

とおくと、

$$ g'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2} $$

である。したがって、$x\cos x-\sin x$ の符号を調べればよい。

ここで

$$ h(x)=\sin x-x\cos x $$

とおくと、

$$ h'(x)=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x $$

となる。$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ では $x>0,\ \sin x>0$ であるから、

$$ h'(x)>0 $$

である。また、

$$ h(0)=\sin 0-0\cdot \cos 0=0 $$

より、$h(x)$ は $x=0$ から増加するので、

$$ 0<x<\frac{\pi}{2}\ \Longrightarrow\ h(x)>0 $$

すなわち

$$ \sin x-x\cos x>0 $$

である。よって

$$ x\cos x-\sin x<0 $$

となり、

$$ g'(x)<0 $$

である。

したがって、$\dfrac{\sin x}{x}$ は $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ で単調減少である。

**(2)**

$$ f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right) \qquad \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right) $$

とする。まず導関数を求めると、

$$ f'(x)=\frac{\pi}{2}\sin x,\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right) -\frac{\pi}{2}\cos x,\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right) $$

である。これを整理すると、

$$ f'(x)=\frac{\pi^2}{4}\sin x\cos x \left\{ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right)}{\frac{\pi}{2}\cos x} -\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right)}{\frac{\pi}{2}\sin x} \right\} $$

となる。

ここで

$$ \phi(t)=\frac{\sin t}{t}\qquad \left(0<t<\frac{\pi}{2}\right) $$

とおけば、（1） より $\phi(t)$ は単調減少である。

いま $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ において、

• （i） $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ なら $\cos x>\sin x$
• （ii） $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$ なら $\cos x<\sin x$

であるから、

• （i） のとき

$$ \frac{\pi}{2}\cos x>\frac{\pi}{2}\sin x $$

より、$\phi$ の単調減少性から

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right)}{\frac{\pi}{2}\cos x} < \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right)}{\frac{\pi}{2}\sin x} $$

となる。したがって $f'(x)<0$ である。

• （ii） のときは逆に

$$ \frac{\pi}{2}\cos x<\frac{\pi}{2}\sin x $$

より

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right)}{\frac{\pi}{2}\cos x}

>

\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right)}{\frac{\pi}{2}\sin x} $$

となるので、$f'(x)>0$ である。

以上より、$f(x)$ は

• $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ で減少
• $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$ で増加

する。したがって、最小値は $x=\dfrac{\pi}{4}$ でとる。

実際、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= 2\cos\left(\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\right) \end{aligned} $$

である。

また、最大値は区間の両端で比較すればよく、

$$ f(0)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos 0=0+1=1 $$

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos 0+\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+0=1 $$

より、最大値は $1$ である。

解説

（1） は $\dfrac{\sin x}{x}$ を直接微分したあと、分子の符号判定をどう処理するかが要点である。$\sin x-x\cos x$ を別関数として微分すると、符号が一気に確定する。

（2） はむやみに値を代入して探す問題ではなく、導関数を

$$ \frac{\sin t}{t} $$

の大小比較に持ち込むのが本筋である。（1） の結果をそのまま使うための式変形が最重要である。

答え

**(1)**

$\dfrac{\sin x}{x}$ は $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ で単調減少である。

**(2)**

最大値は

$$ 1 $$

最小値は

$$ 2\cos\left(\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\right) $$

である。最大値は $x=0,\ \dfrac{\pi}{2}$ でとり、最小値は $x=\dfrac{\pi}{4}$ でとる。