解説

方針・初手

最大値・最小値を求めるので、まず導関数を求めて増減を調べるのが基本である。

この関数は微分すると項がきれいに整理でき、符号判定が容易になる。したがって、臨界点と端点での値を比較すればよい。

解法1

関数

$$ f(x)=4\sin x-4x\cos x-x^2 $$

を $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で考える。

まず微分すると、

$$ f'(x)=4\cos x-4(\cos x-x\sin x)-2x $$

であるから、

$$ f'(x)=4x\sin x-2x=2x(2\sin x-1) $$

となる。

ここで、区間 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $x\geqq 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $2\sin x-1$ の符号で決まる。

$0<x<\dfrac{\pi}{6}$ では $\sin x<\dfrac12$ より

$$ 2\sin x-1<0 $$

したがって

$$ f'(x)<0 $$

である。

また、$\dfrac{\pi}{6}<x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x>\dfrac12$ より

$$ 2\sin x-1>0 $$

したがって

$$ f'(x)>0 $$

である。

よって、$f(x)$ は

• $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{6}$ で減少
• $\dfrac{\pi}{6}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で増加

する。したがって、最小値は $x=\dfrac{\pi}{6}$ でとる。

その値は

$$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) =4\cdot \frac12-4\cdot \frac{\pi}{6}\cdot \frac{\sqrt3}{2}-\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 $$

より、

$$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) =2-\frac{\pi\sqrt3}{3}-\frac{\pi^2}{36} $$

である。

次に最大値は端点で比較すればよい。

$$ f(0)=0 $$

また、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) =4\sin\frac{\pi}{2}-4\cdot \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 =4-\frac{\pi^2}{4} $$

である。

ここで $\pi<4$ だから $\pi^2<16$ であり、

$$ 4-\frac{\pi^2}{4}>0 $$

となる。したがって

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)>f(0) $$

であるから、最大値は $x=\dfrac{\pi}{2}$ でとる。

解説

微分すると $4\cos x$ の項が打ち消し合い、

$$ f'(x)=2x(2\sin x-1) $$

と非常に簡単な形になるのがこの問題の要点である。

あとは $\sin x=\dfrac12$ となる点が区間内で $x=\dfrac{\pi}{6}$ だけであることに注目すれば、増減はすぐに決まる。最大値は内部ではなく端点で比較する必要がある点も重要である。

答え

最大値は

$$ 4-\frac{\pi^2}{4} $$

であり、これは $x=\dfrac{\pi}{2}$ のときにとる。

最小値は

$$ 2-\frac{\pi\sqrt3}{3}-\frac{\pi^2}{36} $$

であり、これは $x=\dfrac{\pi}{6}$ のときにとる。