解説

方針・初手

正方形と円はともに中心が $O$ であるから，正方形の1辺までの距離は正方形の1辺の長さの半分に等しい。

一方，辺 $AB$ と円との交点を $P,Q$ とし，$\angle POQ=2\theta$ であるから，弦 $PQ$ までの中心からの距離は $\cos\theta$ である。したがって，まず正方形の1辺の長さを $\theta$ で表せる。

そのうえで，$S_1$ は4つの合同な円弧部分の和として求め，$S_2$ は正方形全体の面積と共通部分の面積の関係から求める。

解法1

正方形の1辺の長さを $a$ とする。

辺 $AB$ は中心 $O$ から距離 $a/2$ の位置にある。 また，弦 $PQ$ に対して，半径1の円では中心から弦までの距離は

$$ \cos\theta $$

であるから，

$$ \frac{a}{2}=\cos\theta $$

よって，

$$ a=2\cos\theta $$

である。

なお，正方形の周が円周と交わるという条件から，

$$ \sqrt{2}<a<2 $$

すなわち

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{4} $$

である。

（1） $S$ を $\theta$ で表す

まず $S_1$ を求める。

1つの辺に対応する，円の内部かつ正方形の外部の部分は，弦 $PQ$ に対する円弧部分である。 その面積は，「扇形 $OPQ$ の面積」から「三角形 $OPQ$ の面積」を引けばよい。

扇形 $OPQ$ の中心角は $2\theta$，半径は1であるから，その面積は

$$ \theta $$

である。

また，三角形 $OPQ$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\sin 2\theta=\sin\theta\cos\theta $$

である。

したがって，1つ分の円弧部分の面積は

$$ \theta-\sin\theta\cos\theta $$

であり，これが4つあるから，

$$ S_1=4\left(\theta-\sin\theta\cos\theta\right) $$

となる。

次に $S_2$ を求める。

円と正方形の共通部分の面積を $T$ とすると，

$$ T=\pi-S_1 $$

であるから，

$$ S_2=a^2-T=a^2-(\pi-S_1) $$

となる。よって，

$$ S=S_1+S_2=2S_1+a^2-\pi $$

である。

ここに

$$ S_1=4\left(\theta-\sin\theta\cos\theta\right),\qquad a=2\cos\theta $$

を代入すると，

$$ \begin{aligned} S &=2\cdot 4\left(\theta-\sin\theta\cos\theta\right)+(2\cos\theta)^2-\pi \\ &=8\left(\theta-\sin\theta\cos\theta\right)+4\cos^2\theta-\pi \end{aligned} $$

したがって，

$$ S=8\left(\theta-\sin\theta\cos\theta\right)+4\cos^2\theta-\pi $$

である。

（2） $S$ を最小にするときの正方形の1辺

上で得た式

$$ S=8\left(\theta-\sin\theta\cos\theta\right)+4\cos^2\theta-\pi $$

を微分する。

$$ \begin{aligned} S'(\theta) &=8-8(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-8\sin\theta\cos\theta \\ &=8-8\cos 2\theta-8\sin\theta\cos\theta \\ &=16\sin^2\theta-8\sin\theta\cos\theta \\ &=8\sin\theta(2\sin\theta-\cos\theta) \end{aligned} $$

ここで $0<\theta<\pi/4$ であるから $\sin\theta>0$ であり，

$$ S'(\theta)=0 $$

となるのは

$$ 2\sin\theta-\cos\theta=0 $$

すなわち

$$ \tan\theta=\frac{1}{2} $$

のときである。

このとき

$$ \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}} $$

だから，正方形の1辺の長さ $a$ は

$$ a=2\cos\theta=2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5} $$

となる。

また，$0<\theta<\pi/4$ において，$\tan\theta$ は増加するので，

$$ \theta<\arctan\frac{1}{2}\Rightarrow S'(\theta)<0,\qquad \theta>\arctan\frac{1}{2}\Rightarrow S'(\theta)>0 $$

である。したがって，このとき確かに $S$ は最小である。

解説

この問題の要点は，$S_1$ と $S_2$ を別々に複雑に追うのではなく，まず弦 $PQ$ に対応する円弧部分の面積を求めることである。

中心角が $2\theta$ と与えられているので，扇形と三角形の差で $S_1$ がすぐに出る。さらに，共通部分の面積を $T$ とおけば，

$$ \pi=T+S_1,\qquad a^2=T+S_2 $$

という関係から $S_2$ も処理できる。面積の重なりを1回整理してから式を立てるのが重要である。

また，正方形の1辺は「中心から辺までの距離」が分かれば決まる。ここが $\cos\theta$ になることに気づけるかどうかが初手の分かれ目である。

答え

**(1)**

$$ S=8\left(\theta-\sin\theta\cos\theta\right)+4\cos^2\theta-\pi $$

**(2)**

$S$ が最小となるとき，正方形の1辺の長さは

$$ \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5} $$

である。