解説

方針・初手

直線が第1象限の点 $(a,b)$ を通り、$x$ 軸・$y$ 軸の正の部分と交わるので、その直線は

$$ y=-mx+n \qquad (m>0,\ n>0) $$

とおける。

この直線は $(a,b)$ を通るから

$$ b=-ma+n \quad \Rightarrow \quad n=am+b $$

である。したがって、$x$ 軸との交点を $P$、$y$ 軸との交点を $Q$ とすると

$$ P\left(\frac{n}{m},0\right)=\left(a+\frac{b}{m},0\right),\qquad Q(0,n)=(0,am+b) $$

となる。これより $OP+OQ$ と $PQ$ をともに $m$ を用いて表し、最小値を調べる。

解法1

まず

$$ OP=a+\frac{b}{m},\qquad OQ=am+b $$

であるから、

$$ OP+OQ=a+b+\left(am+\frac{b}{m}\right) $$

となる。

ここで $m>0$ なので、相加相乗平均より

$$ am+\frac{b}{m}\geqq 2\sqrt{ab} $$

であり、等号は

$$ am=\frac{b}{m} \quad\Leftrightarrow\quad m=\sqrt{\frac{b}{a}} $$

のときに成り立つ。

よって

$$ OP+OQ \geqq a+b+2\sqrt{ab} =(\sqrt a+\sqrt b)^2 $$

となるから、最小値は

$$ (\sqrt a+\sqrt b)^2 $$

である。

次に $PQ$ を求める。

$$ PQ=\sqrt{\left(a+\frac{b}{m}\right)^2+(am+b)^2} $$

である。ここで

$$ m=\tan\theta \qquad \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right) $$

とおくと、

$$ a+\frac{b}{m}=a+b\cot\theta,\qquad am+b=a\tan\theta+b $$

だから

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=(a+b\cot\theta)^2+(a\tan\theta+b)^2 \\ &=a^2(1+\tan^2\theta)+b^2(1+\cot^2\theta)+2ab(\tan\theta+\cot\theta) \\ &=a^2\sec^2\theta+b^2\csc^2\theta+2ab\sec\theta\csc\theta \\ &=(a\sec\theta+b\csc\theta)^2 \end{aligned} $$

したがって

$$ PQ=a\sec\theta+b\csc\theta $$

となる。

ここで

$$ f(\theta)=a\sec\theta+b\csc\theta \qquad \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right) $$

とおくと、

$$ f'(\theta)=a\sec\theta\tan\theta-b\csc\theta\cot\theta $$

である。よって極値は

$$ a\sec\theta\tan\theta=b\csc\theta\cot\theta $$

すなわち

$$ \begin{aligned} \frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta} &= \frac{b\cos\theta}{\sin^2\theta} \end{aligned} $$

より

$$ a\sin^3\theta=b\cos^3\theta $$

を満たすときに生じる。したがって

$$ \tan\theta=\sqrt[3]{\frac{b}{a}} $$

である。

ここで

$$ S=a^{2/3}+b^{2/3} $$

とおくと、このとき

$$ \cos\theta=\frac{a^{1/3}}{\sqrt S},\qquad \sin\theta=\frac{b^{1/3}}{\sqrt S} $$

となるから、

$$ \begin{aligned} PQ_{\min} &=a\sec\theta+b\csc\theta \\ &=a\cdot \frac{\sqrt S}{a^{1/3}}+b\cdot \frac{\sqrt S}{b^{1/3}} \\ &=\sqrt S,(a^{2/3}+b^{2/3}) \\ &=S^{3/2} \end{aligned} $$

すなわち

$$ PQ_{\min}=(a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2} $$

である。

解説

直線の傾きを $-m$ とおくと、$P,Q$ の座標が1変数 $m$ で表せるので、最小値問題に直しやすい。

$OP+OQ$ は

$$ a+b+am+\frac{b}{m} $$

となるため、相加相乗平均で直ちに処理できる。

一方、$PQ$ はそのままでは扱いにくいが、$m=\tan\theta$ とおくことで

$$ PQ=a\sec\theta+b\csc\theta $$

という形に整理できる。ここまで変形できれば、あとは微分して最小値を求めればよい。

答え

**(1)**

$OP+OQ$ の最小値は

$$ (\sqrt a+\sqrt b)^2 $$

である。

**(2)**

$PQ$ の最小値は

$$ (a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2} $$

である。