解説

方針・初手

方程式

$$ \alpha x=2\log x+\log 3 \qquad (x>0) $$

を

$$ \alpha=\frac{2\log x+\log 3}{x}=\frac{\log(3x^2)}{x} $$

と変形し，関数

$$ f(x)=\frac{\log(3x^2)}{x}\qquad (x>0) $$

のグラフと直線 $y=\alpha$ の共有点の個数を調べる。 したがって，まず $f(x)$ の増減と最大値を求めるのが初手である。

解法1

$f(x)$ を微分する。

$$ f'(x)=\frac{\left(\dfrac{2}{x\ln 10}\right)x-\log(3x^2)}{x^2} =\frac{2\log e-\log(3x^2)}{x^2} $$

よって，$f'(x)=0$ は

$$ \log(3x^2)=2\log e=\log e^2 $$

すなわち

$$ 3x^2=e^2 $$

より，

$$ x=\frac{e}{\sqrt{3}} $$

である。

したがって，

• $0<x<\dfrac{e}{\sqrt{3}}$ で $f'(x)>0$
• $x>\dfrac{e}{\sqrt{3}}$ で $f'(x)<0$

となるから，$f(x)$ は $x=\dfrac{e}{\sqrt{3}}$ で最大値をとる。

また，

$$ \lim_{x\to 0+}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to \infty}f(x)=0 $$

であり，

$$ f\left(\frac{e}{\sqrt{3}}\right) =\frac{\log!\left(3\cdot \dfrac{e^2}{3}\right)}{\dfrac{e}{\sqrt{3}}} =\frac{\log e^2}{\dfrac{e}{\sqrt{3}}} =\frac{2\sqrt{3}\log e}{e} =\frac{2\sqrt{3}}{e\ln 10} $$

である。

さらに，

$$ f(x)=0 $$

は

$$ \log(3x^2)=0 $$

より

$$ 3x^2=1,\qquad x=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

以上より，$f(x)$ の概形から各設問に答える。

（1） 方程式の実数解の個数

直線 $y=\alpha$ と $y=f(x)$ の共有点の個数より，

• $\alpha<0$ のとき，実数解は $1$ 個
• $\alpha=0$ のとき，実数解は $1$ 個
• $0<\alpha<\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ のとき，実数解は $2$ 個
• $\alpha=\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ のとき，実数解は $1$ 個
• $\alpha>\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ のとき，実数解は $0$ 個

である。

（2） 2個以上の実数解をもつとき，最小の解を $t$ とする。その範囲

2個以上の実数解をもつのは

$$ 0<\alpha<\frac{2\sqrt{3}}{e\ln 10} $$

のときであり，このとき最小の解 $t$ は最大点より左側にある。したがって

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{e}{\sqrt{3}} $$

である。

実際，$0<x<\dfrac{e}{\sqrt{3}}$ では $f(x)$ は単調増加なので，$\alpha$ が

$$ 0<f(x)<f\left(\frac{e}{\sqrt{3}}\right) $$

を動くとき，対応する $t$ はちょうど

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{e}{\sqrt{3}} $$

を動く。

（3） 方程式の解がすべて整数であるような $\alpha$

まず，$\alpha<0$ なら解は1個であるが，左辺 $\alpha x<0$，右辺 $2\log x+\log 3=\log(3x^2)$ は整数 $x\ge 1$ に対して正なので，整数解はありえない。

また，$\alpha=0$ のときの解は

$$ x=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

であり整数ではない。さらに，

$$ \alpha=\frac{2\sqrt{3}}{e\ln 10} $$

のときの唯一の解は

$$ x=\frac{e}{\sqrt{3}} $$

であり，これも整数ではない。

よって，解がすべて整数となるには，$0<\alpha<\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ で解が2個あり，その2個がともに整数でなければならない。

このとき最小の解 $t$ は （2） より

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{e}{\sqrt{3}}<2 $$

を満たす。しかも $t$ は整数だから，

$$ t=1 $$

である。

$x=1$ をもとの方程式に代入すると，

$$ \alpha=\log 3 $$

を得る。

実際，$\alpha=\log 3$ のとき，$x=3$ を代入すると

$$ (\log 3)\cdot 3=3\log 3=2\log 3+\log 3 $$

となり，$x=3$ も解である。 この場合，$0<\log 3<\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ であるから解はちょうど2個であり，その2個は $x=1,3$ で，ともに整数である。

したがって，

$$ \alpha=\log 3 $$

である。

解説

この問題の核心は，もとの方程式をそのまま扱うのではなく，

$$ \alpha=f(x)=\frac{\log(3x^2)}{x} $$

と見て，定数 $\alpha$ を動かしたときの共有点の個数に読み替えることである。

特に，$f(x)$ の増減，$x\to 0+$ と $x\to\infty$ での極限，そして最大値を正確に押さえると，（1） と （2） はそのまま図形的に決まる。

（3） では，最小の解 $t$ の範囲

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{e}{\sqrt{3}}<2 $$

が非常に強く効く。整数解である以上，$t=1$ と一気に絞れ，そこから $\alpha=\log 3$ が決まる。

答え

**(1)**

実数解の個数は

$\alpha<0$ のとき $1$ 個

$\alpha=0$ のとき $1$ 個

$0<\alpha<\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ のとき $2$ 個

$\alpha=\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ のとき $1$ 個

$\alpha>\dfrac{2\sqrt{3}}{e\ln 10}$ のとき $0$ 個

**(2)**

最小の解 $t$ の範囲は

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{e}{\sqrt{3}} $$

**(3)**

$$ \alpha=\log 3 $$

このときの解は $x=1,3$ である。