解説

方針・初手

まず対数の和をまとめて

$$ f(x)=\log_a{(2a+x)(2a-x)}=\log_a(4a^2-x^2) $$

と変形する。

すると、区間 $[-a,a]$ では $x^2$ の範囲が分かるので、$4a^2-x^2$ の最大・最小がすぐに決まる。あとは $\log_a x$ が $a>1$ で増加、$0<a<1$ で減少することに注意して、最大値・最小値を場合分けすればよい。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\log_a(2a+x)+\log_a(2a-x) $$

であるから、対数の性質より

$$ f(x)=\log_a{(2a+x)(2a-x)}=\log_a(4a^2-x^2) $$

となる。

ここで、$x\in[-a,a]$ であるから

$$ 0\le x^2\le a^2 $$

であり、したがって

$$ 3a^2\le 4a^2-x^2\le 4a^2 $$

となる。

実際、

• $x=0$ のとき $4a^2-x^2=4a^2$
• $x=\pm a$ のとき $4a^2-x^2=3a^2$

である。

よって、$4a^2-x^2$ は区間 $[-a,a]$ において最大値 $4a^2$、最小値 $3a^2$ をとる。

ここで対数関数 $\log_a x$ の単調性を用いる。

**(i)**

$a>1$ のとき

$\log_a x$ は増加関数であるから、$f(x)=\log_a(4a^2-x^2)$ も $4a^2-x^2$ が大きいほど大きい。

したがって

$$ \max f(x)=\log_a(4a^2),\qquad \min f(x)=\log_a(3a^2) $$

である。

これを $A=\log_a2,\ B=\log_a3$ を用いて表すと、

$$ \log_a(4a^2)=\log_a4+\log_a a^2=2\log_a2+2=2A+2 $$

$$ \log_a(3a^2)=\log_a3+\log_a a^2=B+2 $$

より、

$$ \max f(x)=2A+2,\qquad \min f(x)=B+2 $$

となる。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$\log_a x$ は減少関数であるから、大小関係は逆になる。よって

$$ \max f(x)=\log_a(3a^2)=B+2,\qquad \min f(x)=\log_a(4a^2)=2A+2 $$

となる。

解説

この問題の本質は、対数の和を積の対数にまとめて

$$ f(x)=\log_a(4a^2-x^2) $$

とすることである。

すると、あとは $x^2$ の範囲だけを見ればよく、難しい計算は不要である。ただし、対数の底が $a$ であり、$a>1$ と $0<a<1$ で単調性が逆になる点を落とすと誤答になる。最大・最小の値そのものは $4a^2$ と $3a^2$ から決まり、最後に $A,B$ で表し直せばよい。

答え

$$ a>1\ \text{のとき}\quad \max f(x)=2A+2,\qquad \min f(x)=B+2 $$

$$ 0<a<1\ \text{のとき}\quad \max f(x)=B+2,\qquad \min f(x)=2A+2 $$