解説

方針・初手

分母が $x^2+1$ であり、分子も $x^2$ の式で書けるので、まず $t=x^2 ,(\ge 0)$ とおくと1変数の最小値問題に直せる。

そのうえで、式を分解して基本不等式で処理すると最小値がきれいに求まる。

解法1

$t=x^2 ,(\ge 0)$ とおくと、

$$ f(x)=\frac{x^4+3x^2+4}{x^2+1}=\frac{t^2+3t+4}{t+1} $$

である。ここで分子を整理すると、

$$ t^2+3t+4=(t+1)(t+2)+2 $$

だから、

$$ f(x)=\frac{(t+1)(t+2)+2}{t+1}=t+2+\frac{2}{t+1} $$

となる。さらに $u=t+1$ とおくと、$u\ge 1$ であり、

$$ f(x)=1+u+\frac{2}{u} $$

となる。

ここで相加相乗平均より、

$$ u+\frac{2}{u}\ge 2\sqrt{2} $$

が成り立つ。したがって、

$$ f(x)\ge 1+2\sqrt{2} $$

である。

等号成立は

$$ u=\frac{2}{u} $$

すなわち

$$ u^2=2 $$

より $u=\sqrt{2}$ のときである。したがって

$$ t+1=\sqrt{2} $$

すなわち

$$ t=\sqrt{2}-1 $$

で等号が成り立つ。$t=x^2$ であるから、

$$ x^2=\sqrt{2}-1 $$

を満たす $x=\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$ のとき最小となる。

よって最小値は

$$ 1+2\sqrt{2} $$

である。

解法2

同様に $t=x^2 ,(\ge 0)$ とおくと、

$$ f(x)=\frac{t^2+3t+4}{t+1}=t+2+\frac{2}{t+1} $$

である。これを

$$ g(t)=t+2+\frac{2}{t+1}\qquad (t\ge 0) $$

とおく。

微分すると、

$$ g'(t)=1-\frac{2}{(t+1)^2} $$

であるから、

$$ g'(t)=0 $$

より

$$ (t+1)^2=2 $$

となる。$t\ge 0$ より $t+1>0$ なので、

$$ t+1=\sqrt{2} $$

すなわち

$$ t=\sqrt{2}-1 $$

で極値をとる。

さらに、

$$ g''(t)=\frac{4}{(t+1)^3}>0 $$

であるから、$t=\sqrt{2}-1$ で最小となる。

このとき

$$ g(\sqrt{2}-1) =(\sqrt{2}-1)+2+\frac{2}{\sqrt{2}} =1+2\sqrt{2} $$

である。

よって最小値は

$$ 1+2\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題では、$x$ そのものではなく $x^2$ を新しい文字でおくのが本質である。すると4次式に見える式が、実質的には $t\ge 0$ における有理式の最小値問題になる。

解法1は

$$ f(x)=1+\left((x^2+1)+\frac{2}{x^2+1}\right) $$

という形まで持ち込み、相加相乗平均で一気に処理する方法である。最も見通しがよい。

答え

最小値は

$$ 1+2\sqrt{2} $$

である。